Fiche n°32 : Systèmes d’équations linéaires.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues).

Ce programme résout les systèmes de 1 à 8 équations linéaires à 1 à 8 inconnues.

En particulier, l’interprétation graphique des systèmes de 1 à 3 équations à 2 inconnues ou de 1 à 3 équations à 3 inconnues est réalisée respectivement dans Systèmes d’équations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre et Systèmes d’équations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre. Dans ces deux programmes, lorsque les systèmes ne contiennent pas de paramètre, il suffit de le faire varier fictivement par exemple de 0 à 1 par pas de 2 pour n’occasionner qu’un seul calcul et affichage ou plus simplement encore de choisir t fixé.

Cette fiche certainement est trop longue pour être exposée en une séance. Elle a le mérite de proposer plusieurs manières différentes de regarder des systèmes et d’interpréter les solutions. Au professeur de choisir judicieusement l’aspect qu’il veut privilégier.

 

  1. Système de 2 équations à 2 inconnues.
  2. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :

    2x+3y=6
    2x-3y=0

    et on trouve : x1=1.5 et x2=1.

    On interprète graphiquement cette solution :

  3. Système de 3 équations à 3 inconnues.
  4. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :

    4x+6y+2z=1
    y+z=0
    2x+y+z=2

    et on trouve : x1=1, x2=-3/4 et x3=3/4.

    On interprète graphiquement la solution :

  5. " Système " de 1 équation à 2 inconnues.
  6. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :
    2x+3y=6 et on trouve : x1=-1.5a+3 et x2=a.

    On interprète graphiquement la solution :

  7. " Système " de 1 équation à 3 inconnues.
  8. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout : 4x+6y+2z=1 et on trouve : x1=-1.5a-0.5b+0.25, x2=a, x3=b.

    On interprète graphiquement la solution :

  9. Système de 3 équations à 2 inconnues.
  10. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout

    2x+3y=6
    2x-3y=0
    2x-y=2

    et on trouve : x1=1.5 et x2=1.

    On peut encore interpréter graphiquement cette solution dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre, en encodant les trois droites et en observant qu’elles concourent bien au point (1.5 ; 1).

  11. Système de 2 équations à 3 inconnues.
  12. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout

    4x+6y+2z=1
    y+z=0

    et on trouve : x1=a+0.25, x2=-a, x3=a.

  13. Système de 4 équations à 3 inconnues.
  14. Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à p inconnues, on résout :

    4x+6y+2z=1
    y+z=0
    2x+y+z=2
    4x-3y+2z=1

    et on trouve : S=Æ

    Interprétations possibles :

  15. Voir aussi "Système de 1 à 3 éq. à 2 inc. avec param.".

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Fiche n°33 : Systèmes linéaires à 2 inconnues avec paramètre.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n éq. à 2 inconnues à paramètre)

En classe on a résolu le système :

(t²-9)x+(2t-6)y=3-t
(t+3)x+(t-3)y=t

et trouvé la solution :

tÎ R\{-3 ; 3 ; 5}Þ S={ ( 3 (1-t)/ ( (t+3) (t-5) ) ; (t+1) / (t-5) ) }
tÎ {-3 ; 5}Þ S=Æ
t=3Þ S={(0.5 ; r)Î R² | rÎ R}

Interprétons graphiquement cette solution.

A chaque valeur du paramètre t, correspondent deux droites. Lorsque t varie de a à b par pas de p, par série de 1 à 10 valeurs, on affiche ces droites, leur point d’intersection, et la solution correspondante du système.

On préférera afficher les graphiques et résultats pour une valeur de t à la fois pour mieux observer et comprendre le lien entre graphique et résultat.

On peut aussi afficher les droites de manière continue toutes les valeurs de t et produire ainsi un Film racontant l’histoire du système.

Il est également possible de ne représenter que les points d’intersection. (Voir Options). Ceux-ci apparaissent alors comme le lieu géométrique engendré par les génératrices dont les équations sont celles du système.

Dans le cas présent on trouve aisément en éliminant t que le lieu brut L est la conique Lº 8xy+2y²-2x-y-1=0 et on le vérifiera en représentant cette conique dans Troisième niveau (1)/Coniques/Graphe et éléments.

Exercices au local : (cf. aussi page 48)

  1. En s’inspirant de ce qui précède, interpréter graphiquement le système :
  2. (t²-9)x+(2t-6)y=3-t
    (t+3)x+(t-3)y=t
    2tx-ty=t+1

    et en particulier trouver une valeur de t pour que les trois droites soient concourantes.

  3. Semblablement, interpréter graphiquement le " système " : (t²-9)x+(2t-6)y=3-t
  4. Trouver l’équation de la tangente en un point quelconque (cost ; sint) du cercle Cº x²+y²-1=0 et représenter ces tangentes lorsque t varie de 0 à 2p par pas de 0.1.

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Fiche n°34 : Systèmes linéaires à 3 inconnues avec paramètre.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n éq. à 3 inconnues à paramètre)

En classe on a résolu le système :

tx+(t+2)y+2z=1 (1)
(t+2)y+(t+2)z=0 (2)
2x+y+(t-3)z=2 (3)

et trouvé la solution :

tÎ R\{-2 ; 0 ; 2}Þ S={ (3t-4) / (t (t-2) ) ; 2 (1-t) / (t(t-2) ) ; 2(t-1) / (t(t-2) ) }
tÎ {0 ; 2}Þ S=Æ
t=-2Þ S={(r-0.5 ; 3r+3 ; r)Î R³ | rÎ R}

Interprétons graphiquement cette solution.

A chaque valeur du paramètre t, correspondent trois plans. Lorsque t varie de a à b par pas de p, par série de 1 à 10 valeurs, on affiche ces plans, leurs points d’intersection, et la solution correspondante du système.

On préférera afficher les graphiques et résultats pour une valeur de t à la fois pour mieux observer et comprendre le lien entre graphique et résultat.

On peut aussi afficher les plans de manière continue pour toutes les valeurs de t et produire ainsi un Film racontant l’histoire du système.

On peut rechercher le lieu géométrique L du point commun aux trois plans en éliminant t entre les trois équations des plans. Ce lieu brut L est l’intersection de la surface º -2x²-y²+2z²-3xy+3xz+5yz+2x+2y-z=0 avec le plan º y+z=0, ou mieux l’intersection de la surface º -2x²-4y²-6xy+2x+3y=0 avec le plan º y+z=0.

Des équations paramétriques de L sont encore :

x=(1+3t± Ö (1+t²)) / 2
y=-t
z=t

et on vérifiera ce lieu en le représentant dans Troisième niveau (2)/Géométrie dans l’espace/Courbes et surfaces réglées.

On donne au point A la coordonnée ( (1+3t+Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ) et on clique sur Graphe, puis on donne au point A la coordonnée ( (1+3t-Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ) et on clique à nouveau sur Graphe.

Mieux, on donne au point A la coordonnée ( (1+3t+Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ) et au point B la coordonnée ( (1+3t-Ö (1+t²)) / 2 ; -t ; t ), on sélectionne Segment AB et on clique sur Graphe. Les segments AB sont dans le plan º y+z=0 et les extrémités de ce segment décrivent bien le lieu brut L recherché.

Il est évident que les équations fournies par la solution ci dessus :

x= (3t-4) / (t(t-2) )
y= 2(1-t) / (t(t-2) )
z= 2(t-1) / (t(t-2) )

sont d’autres équations paramétriques équivalentes de L et pourront être interprétées comme les précédentes.

Exercices au local : (voir aussi "Système de 1 à 3 éq. à 3 inc. avec param.")

  1. En s’inspirant de ce qui précède, interpréter graphiquement le système :
  2. tx+(t+2)y+2z=1 (1)
    (t+2)y+(t+2)z=0 (2)

  3. Semblablement, interpréter graphiquement le système : tx+(t+2)y+2z=1

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Fiche n°35 : Trigonométrie.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Trigonométrie)

L’objectif principal du programme Nombres trigonométriques est d’ancrer la signification géométrique des N.T. des angles, et des N.T. inverses.

Les autres programmes seront les bienvenus pour corriger des devoirs ou travaux, et en inventer d’autres.

Les résolutions d’équations et inéquations simples ont le mérite de montrer sur un même écran la fonction correspondante, la solution et l’interprétation sur un cercle trigonométrique. L’élève pourra ainsi mieux voir les liens entre graphiques et résultats. En offrant ces possibilités, l’ordinateur vient au secours de l’enseignement car sans ordinateur on ne prendrait pas toujours le temps de représenter la fonction correspondante chaque fois.

Exercices au local :

  1. Lire sin(33°), cos(33°), calculer sin²(33°)+cos²(33°), interpréter graphiquement et conclure.
  2. Lire arcsin(0.1), lire arccos(0.1) , faire la somme et conclure.
  3. Vérifier l’identité sin(2x)=2sin(x)cos(x) (cf. fiche 3)
  4. Résoudre le triangle quelconque ABC sachant que B=30°, b=18 cm et c=30 cm.
  5. Résoudre l’équation sin(2x+p /3)=0.5.
  6. Résoudre l’inéquation |cosx|£ Ö 3/2.

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Fiche n°36 : Transformations du plan.

(Utilisation de Deuxième niveau/Transformations du plan)

Soit

Dans le repère (O, OI, OJ), on a : O(0, 0), I(1, 0), J(0, 1) et P(x, y).

Par la transformation t de matrice T, t(O)=O’, t(I)=I’, t(J)=J’ et t(P)=P’.

avec OO’=a OI + b OJ, O’I’=m OI + n OJ, O’J’=p OI + q OJ, OP’=x’ OI + y’ OJ,

Le programme permet de construire l’image d’une figure donnée par une transformation ou par la composée de deux transformations pour en étudier les propriétés géométriques, sans qu’il soit nécessaire de comprendre tous les calculs sous-jacents.

Il sera donc un auxiliaire utile pour étudier les transformations ou leurs composées en suggérant par voie graphique quels pourraient être les invariants et encourager ensuite l’élève à en faire la démonstration.

Le professeur pourrait par exemple commenter en classe les exercices suivants :

  1. Montrer que l'image du triangle de sommets (2, 2), (9, 2) et (3, 6) par la composée de deux symétries axiales, d'axes parallèles à d º y=x et comprenant respectivement les points (-4, 1) et (3, 2) est celle obtenue par un translation de vecteur (6, -6).
  2. Montrer que l'image du triangle de sommets (2, 2), (9, 2) et (3, 6) par la composée de deux symétries axiales, le premier axe comprenant le point (-1, 1) et de direction (1, 1), le deuxième axe comprenant (3, 1) et de direction (1, 5), est celle obtenue par une rotation de centre (4, 6) et d'angle 67°,38014.
  3. Trouver la composée d'une affinité d'axe Ox , de direction Oy et de rapport 0.3 suivie d'une rotation de centre (-1,1) et d'angle 30° suivie d'une homothétie de centre (1,-1) et de rapport 0.8.
  4. Il faut donc déterminer t3° t2° t1. On déterminera d’abord t2° t1. Cette composée sera considérée comme t1, t3 comme t2 et il restera donc à déterminer à nouveau t2° t1.

    Soit t1 l’affinité d’axe Ox, de direction Oy et de rapport 0.3 de matrice

    et la rotation t2 de centre (-1,1) et d’angle 30° de matrice

    La composée t2 ° t1 est une permutation affine directe de matrice

    Cette dernière matrice deviendra celle de la transformation affine t1 (on encodera donc cette matrice).

    On détermine ensuite l’homothétie t2 de centre (1,-1) et de rapport 0.8
    La composée t2° t1 est alors la permutation affine directe recherchée :

    Remarque :

    En cliquant sur la transformation affine t obtenue, on vérifie qu’elle est contractante, c'est à dire telle que la distance des images de deux points est inférieure à la distance de ces points. Ce type de transformation sera utilisé dans la méthode IFS des fractales naturelles.

  5. Montrer que la transformation affine définie par la matrice
est contractante

Cette matrice est une de celles qui permettent de représenter une fougère ( voir fractales naturelles).

Exercices d’extension :

Les plus motivés chercheront ce que deviennent dans l’espace les propriétés découvertes, et pourront trouver confirmation de leurs conclusions en explorant le programme Troisième niveau (2)/Transformations/ Transformations de l’espace.

  1. Montrer que la composée d'une symétrie centrale de centre P1(-1, 1, 1) suivie d'une symétrie centrale de centre P2(-6, 2, -3) est une translation de vecteur (-10, 2, -8).
  2. Montrer que la composée d'une symétrie par rapport au plan A1B1C1, A1(0, 0, 0), B1(0, 2, 0), C1(0, 0, 2) suivie d'une symétrie par rapport au plan A2B2C2, A2(1, -3, 2), B2(0, 3, 2), C2(1, 1, 1) est une rotation d'axe AB, A(0, 11, 0), B(0, 7, 1) et d'angle 68,99247°.

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Fiche n°37 : Suites et séries.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Suites et séries)

Ce seront surtout les suites arithmétiques et géométriques qui retendront l’attention. L’intérêt est de les illustrer graphiquement ainsi que la suite des sommes et des produits partiels.

Ces notions étant bien comprises, il sera possible d’étudier d’autres suites ainsi que des critères de convergence.

Exercices au local avec le professeur : (voir aussi "Suites et séries")

  1. On considère la suite arithmétique –4 ; -1 ; 2 ; 5, … de 10 termes. Représenter graphiquement la suite, et trouver la somme des 10 termes.
  2. On définit u(n+1)=u(n)+3, avec u(1)=-4 et n=10.

    En choisissant u(1)+u(2)+…, on vérifie que s(10)=95. Par calcul s(10)=(-4+23)*10/2.

  3. On considère la suite géométrique 1/8 ; 1/4 ; 1/2 ; 1 ; 2  et 4 de 6 termes. Représenter graphiquement la suite, et trouver la somme et le produit des 6 termes.
  4. On définit u(n+1)=u(n)*2, avec u(1)=1/8 et n=6.

    En choisissant u(1)+u(2)+ …, on vérifie que s(6)=7.875. Par calcul s(6)=(4*2-0.125)/(2-1)

    En choisissant u(1)*u(2)* …, on vérifie que p(6)=0.125. Par calcul p(6)= Ö ((1/8*4)6)

  5. On considère la suite géométrique 1 ; 1/2 ; 1/4 ; 1/8, … Représenter graphiquement la suite, et vérifier que la suite s(n) des sommes partielles converge.
  6. On définit u(n+1)=u(n)/2, avec u(1)=1 et n=50 par exemple.

    En choisissant u(1)+u(2)+ …, on vérifie graphiquement que s(n) converge vers 2.

    Par calcul, la limite de s(n) quand n tend vers l’infini est égale à 1/(1-1/2) c’est à dire 2.

  7. On considère la suite 1, 1/2, 1/3, 1/4, … ou u(n)=1/n appelée suite harmonique, et la suite des sommes partielles s(n)=1+1/2+1/3+…+1/n=u(1)+u(2)+…+u(n). Etudier les suites u(n) et s(n).
  8. En représentant graphiquement les premiers termes (50 par exemple) de chaque suite, on devine que la suite s(n) ne converge pas, et les plus perspicaces remarqueront que cette suite semble avoir la même allure que celle de la fonction f(x)=ln(x). Effectivement on observe que si n augmente l’écart s(n)-ln(n) tend vers une constante 0.577…On a donc fait grâce à l’ordinateur une grande découverte ! Mais on déchante vite quand on apprend qu’Euler (1717-1783) avait déjà trouvé cette constante 0.57721 56649 01532 … sans ordinateur et lui a laissé son nom ! Néanmoins l’ordinateur a été ici encore un outil de découverte.

  9. Un couple de lapins engendre chaque mois, à partir du deuxième de son existence, un nouveau couple et les nouveaux couples se reproduisent suivant la même loi. Etudier la suite des quotients q(n+1)=u(n+1)/u(n).
  10. Les nombres de couples engendrés par le couple né à la date 0 et ses descendants sont donc à chaque mois anniversaire 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … et forment la suite de Fibonacci définie par la formule de récurrence : u(n+2)=u(n+1)+u(n), avec u(1)=u(2)=1.

    Soit q(n+1)=u(n+1)/u(n). La suite des quotients est donc 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, … et on observe graphiquement et numériquement que cette suite converge vers 1,61803…

    En effet (n+1)/u(n)=(u(n)+u(n-1))/u(n)=1+u(n-1)/u(n) ou encore q(n+1)=1+1/q(n) et en supposant que la suite q(n) converge vers le nombre j , q(n+1)=1+1/q(n) devient j =1+1/j et j =(1+Ö (5))/2=1.61803…=le nombre d’or.

    On pour vérifier si cette limite j dépend des valeurs initiales de u(1) et u(2).

  11. Une suite particulière. On considère un nombre entier strictement positif n comme 27, 1249, … Si n est pair, on le divise par 2, sinon on le multiplie par 3 et on lui ajoute 1. En appliquant la même loi à chaque nombre ainsi formé, on obtient une suite de nombres et on convient de s'arrêter, dès que le nombre 1 apparaît dans la suite.

Remarque. On croit savoir actuellement que les suites engendrées par 1, 2, 3, …, 1040 sont finies. Au delà elles le sont probablement aussi.

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