Fiche n°38 : Analyse combinatoire.

(Utilisation de Troisième niveau (2)/Analyse combinatoire)

L’affichage des listes peut aider les élèves à mieux distinguer arrangements, combinaisons, permutations simples et avec répétitions.

Exercice au local :

  1. Afficher les anagrammes du mot NAMUR, du mot KAYAK.
  2. Afficher tous les anagrammes formés à partir des lettres de son prénom (si ce prénom n’est pas trop long !)
  3. Afficher les ‘pièces’ d’un jeu de dominos.

Sommaire

Fiche n°39 : Statistiques.

Illustrons par un exemple chacun des quatre programmes proposés.

  1. Utilisation de Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à caractère discret
  2. On a relevé les notes d’examen de 28 élèves et obtenu le tableau brut suivant :

    16

    7

    9

    11

    14

    12

    20

    15

    5

    2

    15

    8

    3

    13

    12

    14

    19

    7

    13

    14

    10

    15

    17

    14

    13

    16

    10

    5

       

    Après avoir encodé le tableau brut, on affichera le tableau ordonné, puis recensé. On présentera ensuite les diagrammes en bâtons des effectifs, le polygone des effectifs cumulés, (ou fréquences en pour cent ou pour un) et le tableau des paramètres de position et de dispersion.

    Les graphiques et résultats visualisés sur un même écran aideront les élèves à une meilleure compréhension de ceux-ci.

    Il sera toujours instructif de modifier telle ou telle donnée pour en tester l’impact sur les graphiques et résultats.

    Le tableau des calculs permettra à l’élève de vérifier les siens et surtout au professeur de créer tout exercice utile à son cours ou toute question d’examen pertinente.

    En enregistrant graphiques et résultats dans des fichiers séparés, on aura une excellente occasion de les insérer ensuite dans un traitement de texte pour apprendre à les rassembler en un seul document et à les présenter en exploitant toutes les ressources du traitement de texte.

    Si on désire traiter les données en les regroupant par classes, il suffit d’enregistrer le tableau brut d’extension sdb, (soit exa..sdb), et de le récupérer ensuite dans Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à caractère groupé.

  3. Utilisation de Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à caractère groupé.
  4. Chargeons par exemple le fichier exa.sdb (Pour cela on devra changer le type de fichier *.sgb en *.sdb). On déterminera ensuite les classes et on affichera graphiques et résultats.

    A partir d’un tableau brut, il sera toujours possible de choisir les classes qui conduiront à l’histogramme le plus significatif.

    Exercices au local :

    1. On a relevé les tailles de 86 jeunes de 18 ans et constitué le tableau brut suivant :

    2. 181 175 177 181 160.5 167 168.5 164.5 169 159
      174.5 172 178.5 171 173 169 177 165.5 178.5 172
      169 180 174 161.5 168.5 184 168.5 177 171.5 173.5
      170.5 176 173 175 162 177.5 172 171.5 166.5 180
      178 180 160.5 174.5 168.5 165.5 182 168 176 173
      169.5 178.5 174.5 170 171.5 178 169 178.5 163.5 178
      173 169 178.5 173 181 171 174 175 173.5 185.5
      168. 176 167.5 176 166 171.5 169 178.5 171.5 173.5
      181 170 171 174.5 178 178.5        

      Former les tableaux, ordonné, recensé, ( 9 classes ), des paramètres et représenter les diagrammes.

    3. On lance 1000 fois 100 pièces de monnaie, et on note chaque fois le nombre d'apparitions de 'Face'. Traiter statistiquement ces 1000 nombres et comparer avec la loi normale.
    4. Ouvrir le fichier recensé 'MAXI95.SDR' relatif aux résultats de la maxi éliminatoire de l'olympiade 95. Superposer au tableau des effectifs la courbe normale.
  5. Utilisation de Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à deux caractères
  6. On a relevé l'âge et la taille de 86 jeunes de 14 à 18 ans, pour découvrir une éventuelle corrélation entre les deux caractères et formé le tableau suivant :

    xi\yj 160.5 163.5 166.5 169.5 172.5 175.5 178.5 181 184.5
    14 3 0 1 0 0 0 0 0 0
    15 1 2 4 3 2 0 0 0 0
    16 0 1 1 10 8 1 1 0 0
    17 0 0 0 2 8 6 5 0 0
    18 0 0 0 1 1 5 7 4 1
    .19 0 0 0 0 0 1 2 4 1

    Trouver les droites de régression et faire le diagramme.

  7. Utilisation de Troisième niveau (2)/Statistique/Droite des moindres carrés

Six résultats d'une expérience de laboratoire sont consignés dans le tableau :

xi

0.8

1.4

2.6

3.2

4.8

6.2

yi

3.5

3.6

4.4

4.7

5.3

6

Peut-on raisonnablement penser que les six points obtenus sont alignés ?

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Fiche n°40 : Probabilité.

(Utilisation de Troisième niveau (2)/Statistique/Statistique à caractère discret)

En probabilité tout particulièrement, l’ordinateur montre sa puissance car il est capable de simuler une expérience aléatoire. Le traitement des résultats de la simulation permet une estimation de la probabilité d’un événement avant même de la calculer par des considérations théoriques.

Soit par exemple le problème : Quelle est la probabilité d’avoir 4 fois ‘Face’ en lançant 8 pièces de monnaie ?

On songera naturellement à réaliser un grand nombre de fois un tel lancer, 1000 fois par exemple. Si on a obtenu 280 fois 4 ‘Faces’ on estimera la probabilité demandée pour un lancer à 280/1000.

Pour faciliter la comparaison des résultats empiriques et des résultats théoriques, on choisit 256 lancers. On simule donc 256 lancers de 8 pièces, en notant chaque fois le nombre xi d'apparitions de 'Faces'.

Le tableau recensé pourrait se présenter comme suit :

xi

0

1

2

3

4

5

6

7

8

pi

1

6

31

48

78

59

28

4

1

Il indique en particulier qu’au cours des 256 lancers des 8 pièces on a observé 78 fois 4 faces.

La probabilité d’obtenir 4 faces au cours d’un lancer est donc raisonnablement de l’ordre de 78/256.

Un calcul théorique conduit à la loi binomiale : la probabilité d’avoir k fois ‘Face’ au cours des 8 lancers est donnée par :

avec ici a=0.5 et n=8

On obtient ainsi le tableau :

k

0

1

2

3

4

5

6

7

8

p(X=k)

1/256

8/256

28/256

56/256

70/256

56/256

28/256

8/256

1/256

Le résultat obtenu par simulation 78/256 est bien de l’ordre du résultat théorique 70/256.

Pour s’en convaincre, on représente le diagramme en bâtons des effectifs de la simulation, et on lui superpose la loi binomiale où les sommets des bâtons ont été reliés par des segments pour comparer plus aisément les deux graphiques. On démontre que la moyenne théorique m est na=8*1/2=4 et que l’écart type théorique s vaut Ö (na(1-a))=Ö (8*1/2*(1-1/2))=Ö 2.

Lorsque le nombre de lancers est assez grand, on sait que la loi binomiale

et la loi normale

avec m=4 et s =Ö 2, sont assez voisines.

Superposons donc ces deux lois pour s’en convaincre.

Estimons enfin la qualité de cette approximation en montrant par exemple que :

En effet

Dans Statistiques/Statistique à caractère continu, créons le tableau recensé :

[-0.5 ; 0.5[ 1
[0.5 ; 1.5[ 8
[1.5 ; 2.5[ 28
[2.5 ; 3.5[ 56
[3.5 ; 4.5[ 70
[4.5 ; 5.5[ 56
[5.5 ; 6.5[ 28
[6.5 ; 7.5[ 8
[7.5 ; 8.5] 1

Les classes ont été choisies de manière à conserver la moyenne m= 4 et l’écart type s =Ö 2.

Affichons ensuite l’histogramme des fréquences en Pour un et superposons-lui la loi normale.

On observe que la somme des aires des 4 rectangles dont les centres de bases sont 2, 3, 4 et 5 est effectivement voisine de l’aire limitée par le graphe de f, les droites x=1.5 et x=5.5 et l’axe Ox.

et dans Troisième niveau (1)/Intégrales définies/Interprétation graphique par exemple, on trouve par calcul :

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Jean-Pierre Gosselin
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