Deuxième partie:  PRESENTATION DES PROGRAMMES.

Les programmes sont classés par thèmes et par niveaux (12-13 ans, 14-15 ans, 16-17 ans et plus) et sont respectivement accessibles par la barre des menus ou par les boutons placés sur la page de l’onglet correspondant.

La présentation qui suit respectera le classement par thèmes.

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A.  Exercices d’entraînement

Ces programmes sont destinés par priorité au cycle inférieur, voire aux classes primaires si on se limite à N, Q+ et R+.

Dans la partie consacrée aux questions posées par l’ordinateur, on pourra choisir :

ou encore, selon le cas, le nombre de termes (ou de facteurs), l’ensemble N ou Z, Q+ ou Q, R+ ou R.

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1. Etude du PGCD et du PPCM

    L'utilisateur peut demander la liste des nombres premiers entre deux entiers de son choix, la décomposition en facteurs premiers d’un entier, les diviseurs d'un entier, le PGCD et le PPCM de 2, 3 ou 4 entiers. Certaines réponses sont alors explicitées en énonçant les règles utilisées.

    L'ordinateur peut proposer des séances d'exercices sur le PGCD et PPCM de 2, 3 ou 4 nombres. En cas d'erreur, l'ordinateur donne la réponse exacte, avec quelques étapes intermédiaires, et après la dernière question le score final.

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2. Les entiers

    L’utilisateur peut demander, dans Z, la somme, la différence, le produit, le quotient, la puissance entière d’entiers. Les réponses sont données par l'ordinateur avec explications et développement des étapes principales menant à la réponse finale, en énonçant les règles utilisées.

    L'ordinateur peut proposer des séances d'exercices, dans N ou dans Z, sur les sommes, différences, produits, quotients, puissances, ou sur une quelconque de ces opérations, ou sur des expressions avec parenthèses. En cas d'erreur, l'ordinateur donne la réponse exacte, avec quelques étapes intermédiaires, et après la dernière question le score final.

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3. Les rationnels.

    Ce programme est analogue au précédent et comporte des questions de l'utilisateur dans Q, ou de l’ordinateur dans Q+ ou dans Q.

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4. Les réels.

    Programme analogue au précédent, avec questions de l'utilisateur dans R, ou de l’ordinateur dans R+ ou dans R.

    Remarque : au lieu de donner directement la réponse finale, l’utilisateur peut aussi en former l'expression au clavier. Par exemple, à la question : -0.3*(7.1-(-0.6))+0.16 on peut répondre en tapant directement la valeur -2.15 ou en tapant par exemple l’expression -0.3*7.7+0.16.

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5. Equation dans Z.

    L’utilisateur peut demander, dans Z, la solution d’équations du type a+x = b, ax = b, ax+b = c. Les réponses sont données par l'ordinateur avec le développement des étapes principales menant à la réponse finale.

    L'ordinateur peut proposer des séances d'exercices, dans N ou dans Z, sur ces mêmes équations, ou une quelconque de ces types. En cas d'erreur, l'ordinateur donne la réponse exacte, avec quelques étapes intermédiaires, et après la dernière question le score final.

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6. Equation dans Q.

    Programme analogue au précédent, avec questions de l'utilisateur dans Q, ou de l’ordinateur dans Q+ ou dans Q.

    Par exemple, comme le montrent les figures suivantes, l’ordinateur refuse la réponse 2/9 comme solution de l’équation 15/4 x + 11/(-15) = (-5)/19 et propose la solution exacte avec quelques étapes du calcul.

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7. Equation dans R.

    Ce programme est analogue au précédent et comporte des questions de l'utilisateur dans R, ou de l’ordinateur dans R+ ou dans R.

    Remarque : au lieu de donner directement la réponse finale, l’utilisateur peut aussi en former l'expression au clavier.

    Par exemple, à la question : 2.3*x-6.8=-4.04 on peut répondre en tapant directement la solution 1.2 ou en tapant par exemple l’expression (-4.04+6.8)/2.3.

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B. Calcul numérique

On entre une ou deux fonctions au clavier et on affiche ensuite les valeurs numériques de ces fonctions, lorsque x varie de a à b par pas de p.
On peut ainsi comparer ces fonctions. Sont-elles identiquement égales, ont-elles le même domaine de définition, quel est le rôle des parenthèses, etc. ?
Ce programme permet en particulier de s’entraîner à introduire des fonctions au clavier.

Exemples :

  1. Pour mieux comprendre le rôle des parenthèses, comparer des expressions telles que :
  2. 5*2-(3+8) ; 5*(2-3)+8 ; 5*2-3+8 ou (-2)4, -24, -(-2)4, etc.

  3. Comparer les valeurs des fonctions suivantes et conclure :
  1. f(x)=sqrt(x*x) et g(x)=x
  2. f(x)=sqrt(x*x) et g(x)=abs(x)
  3. f(x)=sqrt(x*x) et g(x)=sqr(sqrt(x))
  4. f(x)=sin(pi-x) et g(x)=sin(x)
  5. f(x)=sin(pi-x) et g(x)=sin(180-x)
  6. f(x)=(x*x-1)/(x-1) et g(x)=x+1
  7. f(x)=arcsin(sin(x)) et g(x)=sin(arcsin(x))
  8. f(x)=exp(ln(x)) et g(x)=ln(exp(x))

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C. Le premier degré.

1. La fonction du premier degré.

Etude de la fonction f(x)=ax+b, terminologie, valeurs numériques, signes et racine, pente de la droite correspondante et représentation graphique.
Equation ax+b=0, inéquations ax+b<0, (£ 0, >0, ³ 0, ¹ 0).

Exemples :

  1. Représenter graphiquement f(x)=0.5x+1, afficher les valeurs numériques.
  2. Résoudre 0.5x+1=0, résoudre 0.5x+1³ 0 et interpréter graphiquement.

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2. La fonction du premier degré avec un paramètre.

Le programme représente graphiquement la fonction f(x) = a(t)x + b(t) pour des séries de 1 à 10 valeurs du paramètre t, comprises entre a et b et variant par pas de p, ainsi que les solutions des équations f(x)=0 ou des inéquations du type f(x)>0 (³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0) correspondantes.

On suivra mieux l’évolution de f en faisant varier t d’une seule valeur à la fois.

En choisissant l’option t fixé, on pourra étudier les graphiques pour les valeurs de t0 de son choix.

On pourra en particulier comparer les solutions à trois valeurs particulières de x en traçant les verticales correspondantes.

Exemples :

  1. Représenter graphiquement et interpréter f(x) = tx-2t+1. Trouver t pour que f comprenne le point (4,0).
  2. Trouver le nombre et le signe des racines de l'équation (t²-9)x+t-4 = 0, t étant un paramètre réel, et comparer les racines aux nombres -1 et 1. Interpréter graphiquement les résultats.

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3. Etude de la droite

Le programme détermine l'équation cartésienne et des équations paramétriques d'une droite comprenant deux points, un point et une direction, un point et parallèle (perpendiculaire) à une droite donnée. Il détermine des équations paramétriques d'une droite dont on donne l'équation cartésienne, la coordonnée du point d'intersection de deux droites, les équations de droites formant un angle donné avec une droite donnée, les équations des bissectrices d'un angle et le signe de ax+by+c.
Il représente graphiquement ces droites, et le faisceau de droites º d1+md2=0.

Exemples :

  1. Représenter la droite comprenant les points A(-2 ; 1) et B(2 ; 3).
  2. Représenter les droites d1 º 2x+3y-6=0 et d2 º 2x-3y=0. Trouver ensuite leur intersection.
  3. S’inspirer du signe de ax+by+c pour résoudre des inéquations d'un des types : ax+by+c>0, ( ³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0).

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D. Le deuxième degré.

1. La fonction du deuxième degré.

Etude de la fonction f(x)=ax²+bx+c, valeurs numériques, signes et racines, somme et produit des racines, axe de symétrie, extremum, représentation graphique.
Equation ax²+bx+c=0, inéquations ax²+bx+c<0, ( £ 0, > 0, ³ 0, ¹ 0 ).

Exemples :

  1. Représenter graphiquement f(x)=0.5x²-0.5x-3, afficher les valeurs numériques.
  2. Résoudre 0.5x²-0.5x-3=0, résoudre 0.5x²-0.5x-3³ 0 et interpréter graphiquement.

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2. La fonction du deuxième degré avec un paramètre.

Le programme représente graphiquement la fonction f(x) = a(t)x² + b(t)x + c(t) pour des séries de 1 à 10 valeurs du paramètre t, comprises entre a et b et variant par pas de p, ainsi que les solutions des équations f(x)=0 ou des inéquations du type f(x)>0 ( ³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0) correspondantes.

On pourra en particulier comparer les solutions à trois valeurs particulières de x en traçant les verticales correspondantes.

Comme pour la fonction du premier degré avec un paramètre, on suivra mieux l’évolution de f en faisant varier t d’une valeur à la fois, et avec l’option t fixé, on pourra étudier les graphiques pour des valeurs de t0 de son choix.

Exemples :

  1. Représenter graphiquement et interpréter f(x)=x²+2(2-t)x+t.
  2. Représenter graphiquement et interpréter f(x)=(t+2)x²-tx+t+1.
  3. Etudier le nombre et le signe des racines de l'équation (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0, lorsque t varie de moins l'infini à plus l'infini.
  4. Trouver le nombre et le signe des racines de l'équation (t-2)x²-4tx+2t-6=0, t étant un paramètre réel, et comparer les racines aux nombres -1 et 1. Interpréter graphiquement les résultats.

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3. Etude de la parabole

Le programme réalise graphiquement l'étude et la représentation graphique d'une parabole, résout et interprète des problèmes tels que l'intersection d'une parabole et d'une droite, l'intersection de deux paraboles, l'équation d'une parabole comprenant trois points, un point et un sommet, l'équation des tangentes comprenant un point, l'équation de la tangente de direction donnée et le signe de y-ax²-bx-c.

Exemples.

  1. Trouver l’équation de la parabole comprenant les points (-3,-2), (1,4) et (3,-1).
  2. Trouver les points d’intersection des paraboles y=x²-2x+3 et y=-x²+3x+4.
  3. S’inspirer du signe de y-ax²-bx-c pour résoudre des inéquations d'un des types : y-ax²-bx-c>0, (³ 0, <0, £ 0, ¹ 0).

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E. Les polynômes.

1. Opérations sur les polynômes dans R.

Le programme calcule la somme, la différence, les combinaisons linéaires, le produit, le quotient de deux polynômes et leur degré.
Le bouton A ¬ B signifie : transférer les données du polynôme B dans celles du polynôme A.
Le bouton A « B signifie : échanger les données du polynôme A et celles du polynôme B.

Exemple :

  1. Que peut-on dire du degré de la somme, du produit, du quotient de deux polynômes ?
  2. On considère les polynômes : A(x)= -3x4+2x3-5x+7 et B(x)=2x²-4x+2
  3. Calculer : A(x)+B(x), A(x)-B(x), 2A(x)-3B(x), A(x)*B(x), A(x)/B(x), B(x)/A(x), A(x)*A(x).

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2. Règle de Horner dans R.

Le programme détermine la liste des diviseurs du terme indépendant, la valeur d’un polynôme en a, calcule le quotient d'un polynôme par x-a, et représente le tableau de Horner.

Le bouton A ¬ C signifie : transférer les données du polynôme C dans celles du polynôme A.

Exemple :

Factoriser le plus possible le polynôme A(x)=x4-3x3-21x2+43x+60

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3. Polynôme dans R comprenant n points.

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4. Les polynômes de degré inférieur à 4 dans C.

Le programme calcule les racines réelles et/ou complexes et factorise le polynôme.
Il calcule aussi le polynôme qui admet les racines réelles et/ou complexes (conjuguées) de votre choix, selon la sélection opérée dans Polynôme ayant pour racines.
Les racines ont été calculées à partir des formules générales des équations de degré £ 4 à coefficients réels. (Voir fiche n°29). C'est pourquoi les polynômes de degré strictement supérieur à 4 ne sont pas étudiés ici.

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F. Transformations

1. Transformations du plan

2. Transformations de l’espace

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