G. Analyse

1. Etude d'une fonction.

Dans chacun des sous programmes, on pourra définir trois séries de fonctions :

  1. La série 1 est formée de fonctions préprogrammées non ajustables. Leurs dérivées première et seconde sont préprogrammées.
  2. La série 2 contient des fonctions préprogrammées ajustables, il suffit de donner des valeurs numériques aux coefficients. Leurs dérivées première et seconde sont préprogrammées.
  3. La série 3 est réservée aux fonctions introduites directement au clavier. Elle contient initialement une série de 9 fonctions de base. Vous pouvez en choisir une, la modifier à volonté, la tester et enregistrer la série des 9 fonctions ou recharger une autre série. L’ordinateur calcule lui-même la dérivée première et la dérivée seconde, mais les résultats ne sont pas toujours garantis. Par exemple pour f(x)=rac3(x) ou pour f(x)=|x|, l’ordinateur trouve f’(0)=0 alors que ces fonctions ne sont pas dérivables au point zéro !

On pourra également ajouter aux graphiques de 1 à 9 droites, notamment pour représenter des asymptotes.

En cliquant sur Souris à la barre des menus, on se rappellera des actions particulières de celle-ci.

Sommaire

a. Graphe d’une fonction

Le programme calcule les valeurs numériques et représente le graphe d’une fonction f, de sa dérivée première, de sa dérivée seconde. Il calcule la pente et l’équation de la tangente en un point et la représente.

Il calcule encore des racines et les extremums de f, et représente graphiquement des normales, la réciproque, des cercles osculateurs et la développée (lieu des centres des cercles osculateurs).

Exemples :

  1. Explorer les fonctions suivantes:
  2. a) f(x)=(2x²-x-3)/(-x²+x+6) (utiliser la série 2 ou 3)
    b) f(x)=(3x4-20x3+36x2-12)/12 (série 1 ou 2 ou 3)
    c) f(x)=x+2-Ö (x²+1)
    d) f(x)=x+exp(-x)-2
    e) f(x)=cos(cos(x))
    f) f(x)=(cox(2/x))
    g) f(x)=x(x-1)(x-2)
    h) f(x)=x(x-0.1)(x-0.02)
    i) f(x)=x³-0.12x²+0.002x

  3. Représenter la fonction f(x)=2x et sa réciproque. Que dire de la réciproque ?
    Même question avec la fonction f(x)=sin(x).
  4. A l'aide de la souris, montrer que l'image par f du domaine de définition de f(x)=E(x) est Z.
    Remarques : Encoder f(x)=ent(x) et choisir le tracé de la fonction par points et non par segments.
    On peut encore améliorer la représentation en déposant avec la souris des cercles pleins ou vides, là où il convient.
  5. Représenter graphiquement f(x)=(3x4-20x3+36x2-12)/12.
  6. Représenter la tangente en quelques points, déterminer la pente de chaque tangente, en déduire f'(x) et sa signification, et vérifier en cliquant sur f’(x). Recommencer en utilisant le bouton f à f’.
    Déterminer les extremums sur [1,4]. (Choisir convenablement le pas)
    Déterminer les racines.
    A l'aide de la souris, déterminer f([-1,4]).

  7. Après avoir défini une fonction :
  8. Représenter le graphe de sa dérivée. En déduire celui de la fonction. Nombre de solutions ?
    Représenter le graphe de sa dérivée seconde. En déduire celui de la dérivée première, puis de la fonction, puis .... Nombre de solutions ?

  9.  
    g(x)=

    Représenter graphiquement g(x) (n=10) (méthode de Simpson) et les asymptotes d'équations y=p /2 et y=-p /2.
    Comparer avec f(x)=arctan(x).

    Représenter ensuite et h(x)=

    et conclure.

  10.  
    Représenter graphiquement f(x)=

    (n=10) (méthode de Simpson).
    ( Dans Repère, choisir 0.1 pour valeur minimum de x ). Comparer avec f(x)=ln(x).

  11. Représenter graphiquement la restriction de f(x)=x² à l'intervalle ] 0.5 ; 1.5 [.
  12. Solution proposée :
    1 étant le centre de l'intervalle ]0.5 ; 1.5[, encoder f(x)=x²Ö (0.5-|x-1|) / Ö (0.5-|x-1|). Justifier!

  13. A l'aide de la souris, montrer qu'une fonction est continue en a.
  14. Représenter un intervalle ouvert comprenant f(a).
    Représenter ensuite un intervalle ouvert comprenant a et dont l'image par f est incluse dans l'intervalle ouvert comprenant f(a).
    Vérifier que pour tout intervalle ouvert comprenant f(a), il sera toujours possible de trouver un intervalle ouvert comprenant a dont l'image par f est incluse dans le premier intervalle.

  15. A l'aide de la souris, montrer que f(x)=E(x) est discontinue en 2.
  16. Représenter un intervalle ouvert comprenant f(2), par exemple ]1.6 ; 2.8[, montrer ensuite que l'image par f de tout intervalle ouvert comprenant 2 n'est pas incluse dans cet intervalle.

  17. Représenter f(x)=2-x-exp(-x)+sin(x) et la droite d º x+y-1=0.
    Que peut-on dire de la droite d par rapport à la fonction f ?
  18. On cherchera les abscisses des points communs de f Ç d, qui sont racines de la fonction f(x)=1-exp(-x )+sin(x).
    Même question avec f(x)=2-x+exp(-x)+sin(x) et la même droite.

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b. Fonctions déduites de f(x)

Affichez le graphe défini par f(x) et devinez celui qui est défini par af(x), f(bx), f(x+c), f(x)+d, af(bx+c)+d, |f(x)|, 1/f(x), f(1/x), f²(x), rac2(f(x)), rac3(f(x)), racn(f(x)p), E(f(x)), f(f(x)), f(f(f(x))), …

Il suffira de cliquer sur le bouton correspondant pour vérifier.
De plus l’évolution des graphes de f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), … peut suggérer la méthode du point fixe.

Exemples :

  1. Soit f(x)=x-2.

Représenter f²(x), 1/f(x), Ö (f(x)), rac3(f(x)), |f(x)|,
Comparer racine carrée de f(x) et racine quatrième de f²(x) et conclure.
Comparer racine cubique de f(x) et racine sixième de f²(x) et conclure.

  1. En comparant f(x) et f(-x), étudier la parité des fonctions suivantes :
  2. a) f(x)=x²-1
    b) f(x)=x³+2x

  3. Soit f(x)=(1+1/x)x
  4. Afficher f(x) et f(1/x).
    Quelle conclusion pour le calcul de e?

  5. Afficher f(f(x)), f(f(f(x))), etc. pour les fonctions suivantes.

a) f(x)=cos(x)
b) f(x)=E(x)
c) f(x)=x+1/x

Quelles conjectures ?

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c. Fonctions déduites de f(x) et g(x)

Affichez le graphe défini par f(x) et g(x) et devinez celui qui est défini par f(x)+g(x), f(x)-g(x), af(x)+bg(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x), g(f(x)), f(g(x)).

Il suffira de cliquer sur le bouton correspondant pour vérifier.

Exemples :

  1. Représenter les fonctions suivantes, et conclure :

a) f(x)=Ö x² et g(x)=x
b) f(x)= Ö x² et g(x)=|x|
c) f(x)= Ö x² etg(x)=(Ö x)²
d) f(x)=sin(p -x) et g(x)=sin(x)
e) f(x)=sin(p -x) et g(x)=sin(180-x)
f) f(x)=(x²-1) / (x-1) et g(x)=x+1
g) f(x)=arcsin(sin(x)) et g(x)=sin(arcsin(x))
h) f(x)=exp(ln(x)) et g(x)=ln(exp(x))
i) f(x)=arctan(tan(x)) et g(x)=tan(arctan(x))
j) f(x)=10log(x) et g(x)=log(10x)

  1. Représenter les fonctions f(x)=x²+x-2 et g(x)=-x²+2x+3.
    En déduire h(x)=(x²+x-2)/(x²+2x+3)
  2. Soit f(x)=arcsin(x) et g(x)=arccos(x). Représenter f(x)+g(x). Que conclure ?
  3. Représenter f(g(x)) et g(f(x)) avec les fonctions suivantes et conclure :
  4. a) f(x)=x², g(x)= Ö x
    b) f(x)=arcsin(x), g(x)=sin(x)
    c) f(x)=exp(x), g(x)=ln(x)

  5. Soit f(x)=x²-4 et g(x)=sin(x). Montrer que f(g(x)) ¹ g(f(x))

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d. Limites d'une fonction en l’infini et en un point.

Afficher le graphe de f(x). Pour trouver la limite de f(x) quand x tend vers + ou – l’infini, ou quand x tend vers a à gauche ou à droite, ou la limite de (f(x)-f(a)) / (x-a) quand x tend vers a à gauche ou à droite, il suffira de cliquer sur le bouton correspondant et de s’inspirer des valeurs numériques obtenues.

On déterminera ainsi les asymptotes verticales et horizontales, et grâce aux boutons f(x)/x et f(x)-ax les asymptotes obliques, et on les représentera graphiquement. On déterminera enfin des nombres dérivés à gauche et à droite.

Exemples :

  1. Trouver la limite en plus l'infini, en moins l'infini et en 1/2 de f(x)=(x²+2)/(4x-2).
    Déterminer ensuite les asymptotes et vérifier graphiquement.
  2. Trouver la limite en plus et en moins l'infini de f(x)=(1+1/x)x.
    Trouver la limite en zéro de f(x)=(1+x)1/x et conclure.
  3. Déterminer et représenter les asymptotes des fonctions suivantes :

a) f(x)= (x²-2x+3) / (x²-5x+6)
b) f(x)= Ö (x²+3x+2)
c) f(x)=x+Ö (x²+1)
d) f(x)=5x+3Ö (x²+x+1)
e) f(x)= Ö (x²+2x)- Ö (x²+x)
f) f(x)=(x+2) exp(1/x)

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e. Graphe de n fonctions

On pourra afficher jusqu’à 9 fonctions, dans l’ordre de son choix, pour visualiser les liens éventuels entre celles-ci.

Exemples :

Représenter sur un même graphique les fonctions suivantes :

  1. f1(x)=x² ; f2(x)=(x-1)² ; f3(x)=(x-1)²-9 ; f4(x)=0.5 ((x-1)²-9) ( fonctions déduites )
  2. f1(x)= Ö ((x-1)/(x-2)) et f2(x)= Ö (x-1)/ Ö (x-2) ( pour comparer les domaines de définition)
  3. f1(x)=arcsin(sin(x)) et f2(x)=sin(arcsin(x)) ( pour comparer les domaines de définition )
  4. f1(x)=arccot(x) et f2(x)=arctan(1/x) ( pour distinguer ces fonctions )
  5. f1(x)=arccot(x) et f2(x)= p /2-arctan(x) ( pour vérifier l’identité f1(x)=f2(x) )
  6. f1(x)=arcsin(x) ; f2(x)=arccos(x) ; f3(x)=arcsin(x)+arccos(x) ( pour vérifier que f1(x)+f2(x)= p /2 )
  7. f1(x)=x-1+Ö (-x²+2x+3) ; f2(x)=x-1-Ö (-x²+2x+3)  ( pour représenter la conique 2x²-2xy+y²-4x+2y-2=0 )
  8. f1(x)=-exp(x/3) ; f2(x)=exp(x/3) sin(4x) ; f3(x)=exp(x/3) ( pour montrer une fonction et ses enveloppes )
  9. f1(x)=(2x³-3x²+x) / (x³-6x²-1) ; f2(x)=(6x²-6x+1)/(3x²-12x) ; f3(x)=(12x-6)/(6x-12)( pour vérifier que ces fonctions tendent vers 2 quand x tend vers l'infini ) ( règle de l'Hospital )
  10. f1(x)=(sin(x)/x)² ; f2(x)=sin(x) cos(x)/x ; f3(x)=cos(2x) ( pour vérifier que ces fonctions tendent vers 1 quand x tend vers 0 ) ( règle de l'Hospital )
  11. f1(x)=-Ö x ; f2(x)= (Ö x) sin(1/x) ; f3(x)= Ö x ( pour illustrer le théorème du sandwich en 0 )
  12. f1(x)=x ; f2(x)=x-x³/6 ; f3(x)=x-x3/6+x5/120 ; f4(x)=sin(x) ( pour montrer les premiers polynômes du développement en série de sin(x) )
  13. f1(x)=exp(x) ; f2(x)=exp(-x) ; f3(x)= exp(x)+exp(-x) ; f4(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 ; f5(x)=ch(x) ( pour découvrir la fonction cosinus hyperbolique )
  14. f1(x)=1+sin(x) ; f2(x)=exp(-x) ; f3(x)=1+sin(x)-exp(-x) ( pour étudier les racines de f3 )
  15. f1(x)=x² ; f2(x)=x² Ö (0.5-|x-1|) / Ö (0.5-|x-1|) ( pour voir la restriction de f1 à ] 0.5 ; 1.5 [ ).
  16. f1(x)=arcsh(x) et f2(x)=ln( x + Ö (x²+1) ) ( pour vérifier que arcsh(x)=ln( x + Ö (x²+1) ) ).
  17. f1(x)=arcch(x) et f2(x)=ln( x + Ö (x²-1) ) ( pour vérifier que arcch(x)=ln( x + Ö (x²-1) ) ).
  18. f1(x)=arcth(x) et f2(x)=0.5 ln( (1+x) / (1-x) )( pour vérifier que arcth(x)=0.5 ln( (1+x) / (1-x) ) ).
  19. f1(x)=arccoth(x) et f2(x)=0.5 ln( (x+1) / (x-1) ) ( pour vérifier que arccoth(x)=0.5 ln( (x+1) / (x-1) ) ).

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f. Approximations des racines

    On supposera ici les fonctions continues sur [a,b] ou dérivables sur un intervalle comprenant x0.

    En essayant les méthodes de dichotomie, des cordes, des sécantes et de Newton, on comparera les performances de chacune et on découvrira les pièges à éviter.

    On choisira également le test d’arrêt approprié ainsi que la précision souhaitée et le nombre maximum d’itéra-tions à effectuer.

    Exemples :

    1) Trouver les trois racines de la fonction f(x)=10.1 e-3*x-0.1/(x2+0.01).

    2) Trouver les quatre racines de f(x) = x5-110 x4+4835 x3-106150 x2+1164024 x-5100480

    3) Par une méthode appropriée, rechercher les racines de :

    a) f(x)=x³-2x+2
    b) f(x)=x³-2x+1
    c) f(x) =x6-6x5+15x4-20x3+15x2-6x+1
    d) f(x)=(-x²+1)/(x²+1)
    e) f(x)=x4-2x2
    f) f(x)=x4-3x+1
    g) f(x)=3 5-5x3
    h) f(x)=3x³-13.95x²+6.45x+23.4
    i) f(x)=sin(x)+cos(2 x)
    j) f(x)=2-x-exp(-x)
    k) f(x)=x-exp(-x/2)
    l) f(x)=x-1-0.5sin(x)
    m) f(x)=sh(x)+sin(x)-2x-1
    n) f(x)=x²-10tan(x)
    o) f(x)=sgn(x)Ö |x|
    p) f(x)=exp(x)-ln(x)

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    g. Méthode du point fixe

On supposera la fonction continue dans un intervalle comprenant une valeur proche de la racine de g(x)=x.
En affichant le graphe de g(x)-x on vérifiera que la racine est bien l’abscisse du point d’intersection de g(x) avec la droite y=x.
Quels sont tous les réels x0 qui permettent de trouver une racine ?
L’exploration de g(g(x)), g(g(g(x))), etc. apportera la réponse.
Ces réels sont origines d’une orbite qui ne tend pas à joindre l’infini et il sera possible de le visualiser à l’écran dans le programme ensembles fractals.

Exemples :

  1. Résoudre :

a) 1/(3-x³)=x
b) 1/(1+x)=x
c) 2-exp(-x)=x
d) cos(x)=x
e) exp(-x²)-0.01=x
f) arctan(x)+p =x
g) arctan(x²/10)+p =x
h) Ö (10tan(x))=x

  1. Trouver une Tracine de f(x)=x³+2x²+10x-20
    (Léonardo di PISA, dit Léonardo FIBONACCI a trouvé la racine 1.368808107 en 1225. Personne ne sait comment il a fait !)
    Soit 20/(x²+2x+10)=x
  2. Résoudre f(x)=0 revient à résoudre (si possible) x-f(x) / f'(x)=x.
  3. Soit donc g(x)=x-f(x) / f'(x) et g(x)=x.
    Par exemple si f(x)=x-exp(x/2), pour résoudre f(x)=0 on peut écrire : x=exp(-x/2), mais la convergence la plus rapide sera obtenue en faisant x=(x+2)/(1+2 exp(x/2)). Vérifier.

  4. Trouver une racine de f(x)=x³+2x-2
  5. soit x=x³+3x-2 (divergence)
    soit x=1-x³/2 (convergence très lente)
    soit x=2 / (x²+2) (convergence rapide)
    soit x= (2x³+2) / (3x²+2) (convergence la plus rapide ( x=x-f(x) / f'(x) )

  6. Trouver les racines de :

a) f(x)=x²-2 ( résoudre (x+2/x)/2 = x )
b) f(x)=1/x-3 ( résoudre x(2-3x) = x )
c) f(x)=x-arcsin(0.5) ( résoudre x-(sin(x)-0.5)/cos(x) = x )
d) (x)=x-ln(2) ou encore f(x)=exp(x)-2 ( résoudre x-(exp(x)-2)/exp(x) = x )
e) f(x)=|x³-1|-x
f) f(x)=-xsin(x+1)+1

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