2. Fonctions avec paramètre.

a. Une ou deux fonctions à paramètre

Définissez une fonction (f) ou deux fonctions ( f et g) contenant un paramètre m.
Vous en obtiendrez le graphe, pour les valeurs de m variant de a à b par pas de p.
Il sera dès lors possible de montrer qu'une fonction f comprend un ou plusieurs points fixes, ou de représenter les courbes génératrices f et g d'un lieu de points.

Exemples :

1. Déterminer le(s) point(s) fixe(s) des fonctions suivantes :

a) f(x)=mx (m varie de 0.25 à 2.25 par pas de 0.25)
b) f(x)=(2x²+mx-3)/(x²+mx+1)
c) f(x)=(x²+3x+4m)/(x²+(5m+1)x+3)
d) f(x)=exp(2x)-4m exp(x)+2m+2
e) f(x)=exp(3x)-(4+m) exp(2x)+2(2+m)exp(x)-m

2. Déterminer le lieu géométrique engendré par les génératrices f(x)=mx+1 et g(x)=x+m. Que dire si m=1 ?

3. Résoudre l'inéquation : (m+1)/(m-2) + x/(x+1) < 0 et vérifier graphiquement la solution.

On trouve :

Si m < -1 alors -1 < x < -3/(m+1)
Si m = -1 alors x > -1
Si -1 < m < 2 alors x < -3/(m+1) ou x > -1
Si m = 2 alors m est à rejeter par les conditions initiales
Si m > 2 alors -1 < x < -3/(m+1)

Pour les valeurs utiles de m, afficher le graphe de f(x)= (m+1)/(m-2) + x/(x+1) – 1 et retenir les valeurs de x telles que f(x)<0.

Sommaire

b. Somme de fonctions à paramètre m entier.

On considère la fonction S(x,M) = f(x)+somme pour m allant de m0 à M par pas de p de g(x).

Exemple :

Pour représenter : sin(x) = x – x³/3! + x5/5! - x7/7! + …
on choisit f(x) = x et g(x) = (-1)m x2m+1 / (2m+1) ! et on définit h(x)=sin(x)

On a donc : S(x,M)= x – x³/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)M x2M+1 / (2M+1) !

( m variant de m0=1 à M par pas de p=1).

On pourra représenter graphiquement :

Dans ce dernier cas, en choisissant une valeur x0 et en cliquant sur le bouton x0, on peut voir les ordonnées des points d’abscisse x0 appartenant à chacune des courbes.

Ces points et leurs coordonnées apparaîtront plus clairement en cliquant sur le bouton M, S(x0,M)).

Attention :

Exemples :

Remarque : Dans les exemples suivants, on prendra, sauf mention contraire, m0=1 et p=1.

  1. Représenter S(x,M)=1+1/2+1/3+ ... +1/M

    Une première solution : Soit f(x)=0 et g(x)=1/m.
  2. ( éventuellement, choisir x0=1 par exemple et cliquer sur le bouton x0 puis (M,S(x0,M)) ).

    Une deuxième solution : Soit f(x)=0 et g(x)=x/m
    ( choisir x0=1 et cliquer sur le bouton x0 puis (M,S(x0,M)) ).

    Que peut-on dire de la limite de 1+1/2+1/3+ ... +1/M quand M tend vers l'infini?

    Semblablement, représenter S(x,M)=1/2+1/4+1/8+ ... +1/2M et deviner la limite quand M tend vers l'infini.

  3. On sait que sin(x) = x – x3/3! + x5/5! - x7/7! + … (Voir aussi Polynômes de Taylor)
    Représenter S(x,M)= x – x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)M x2M+1 / (2M+1) !
  4. Choisir f(x) = x ; g(x) = (-1)m x2m+1 / (2m+1) ! et h(x)=sin(x).

    Afficher les valeurs de ( M, S(5p /6,M ) ) et en s'aidant de ce tableau, trouver jusqu'à quel ordre il a fallu calculer sin(5p /6) pour obtenir la valeur exacte (0.5) à 1 E -06 près ?

  5. On sait que cos(x) = 1 – x2/2! + x4/4! - x6/6!+ ...
    Représenter S(x,M)=1 – x2/2! + x4/4! - x6/6!+ ... + (-1)M x2M / (2M)!
    Choisir f(x) = 1 ; g(x) = (-1)m x2m / (2m) ! et h(x)=cos(x).
    Afficher les valeurs de ( M, S(4p /3,M) ) et en s'aidant de ce tableau, trouver un majorant de l'erreur commise en calculant cos(4p /3) jusqu'à l'ordre 6, sachant que cos(4p /3)=-0.5.
  6. On sait que exp(x) = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ...
    Choisir f(x) = 1 ; g(x) = xm/m ! et h(x)=exp(x).
    En affichant les valeurs de ( M, S(1,M) ), montrer que e est la limite de 1+1+1/2!+1/3!+ ... +1/M! quand M tend vers l'infini.
  7. On sait que 1/(1-x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + …
    Choisir f(x) = 1 ; g(x) = xm et h(x)=1/(1-x).
  8. On sait que ln(1+x) = x – x2/2 + x3/3 - x4/4 + ...
    Choisir f(x) =0 ; g(x) = (-1)m+1xm/m ! et h(x)=ln(1+x).
  9. On sait que sh(x) = x + x3/3! + x5/5! + x7/7!+ ...
    Choisir f(x) =x ; g(x) = x2m+1/(2m+1) ! et h(x)=sh(x).
  10. On sait que ch(x) = 1 + x2/2! + x4/4! + x6/6!+ ...
    Choisir f(x) = 1 ; g(x) = x2m/(2m) ! et h(x)=ch(x).
  11. On sait que arctg(x) = x – x3/3 + x5/5 - x7/7 + ...
  12. Choisir f(x) = x ; g(x) = (-1)m x2m+1 / (2m+1) et h(x)=arctg(x).

  13. On sait que arcth(x) = x + x3/3 + x5/5 + x7/7 + ...
    Choisir f(x) = x ; g(x) = x2m+1 / (2m+1) et h(x)=arcth(x).
  14. Représenter S(x,M)=x+x/2+x/3+ ... +x/M
    Représenter ensuite les points (M, S(1,M)) pour des valeurs de plus en plus grandes de M.
  15. Représenter enfin la courbe h(x)=ln(x) et observer que les valeurs de S(1,M) - ln(M) semblent tendre vers une constante.
    Vérifier cette impression en sélectionnant Voir/Valeurs de S(x0,M)-h(M).
    En fait Euler avait déjà trouvé que la limite de 1+1/2+1/3+ ... +1/M - ln(M) quand M tend vers l'infini est une constante. Cette constante qui porte son nom vaut 0.5772156...

  16. Calculer S(x,M) sachant que S(x,M)=sin x +sin(x+r)+sin(x+2r)+ ... +sin(x+(M-1)r).
  17. (multiplier les deux membres par -2sin(r/2) et transformer chaque terme du membre de droite en somme de deux termes). On trouve S(x,M)=sin(x+(M-1)r/2) sin(Mr/2)/sin(r/2).

    On peut vérifer cette solution quelle que soit la valeur de M, pour x=2 et r=p /40 par exemple.
    Soit h(x,M)=sin(x+(M-1)r/2) sin(Mr/2)/sin(r/2) ; S(x,M)=h(x,M).
    Il faut donc montrer que S(2,M)=h(2,M), avec r=p /40. ( f(x)=0 ; g(x)=sin(x+(m-1) p /40) )
    h(2,M)=sin(2+(M-1) p /80) sin(Mp /80)/sin(p /80).

    Pour cela, on peut représenter les points ( M, S(2,M) ) et vérifier que la courbe définie par
    h(x)=sin(2+(x-1)p /80) sin(p x/80)/sin(p /80) comprend bien ces points.

    Même question pour S(x,M)=cos(x)+cos(x+r)+cos(x+2r)+ ... +cos(x+(M-1)r) = ...
    = cos(x+(M-1)r/2) sin(Mr/2)/sin(r/2).
    Soit r = x dans l'exemple précédent.
    On trouve :
    S(x,M)=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+ ... +sin(Mx) =sin(Mx/2) sin((M+1)x/2)/sin(x/2)
    et, en particulier pour M=10 par exemple, on a
    S(x,10)=sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+ ... +sin(10x) =sin(5x) sin(11x/2)/sin(x/2) = h(x)
    On pourra s'en convaincre en représentant graphiquement S(x,10) et h(x).

    Semblablement, on peut démontrer et vérifier graphiquement que :
    S(x,M)=cos x +cos(2x)+cos(3x)+ ... +cos(Mx) =sin(Mx/2) cos((M+1)x/2)/sin(x/2)
    ou encore :
    S(x,M)=cos(0x)+cos x+cos(2x)+cos(3x)+ ... +cos(Mx) =sin((M+1)x/2)cos(Mx/2)/sin(x/2)

  18. La fonction de WEIERSTRASS est définie par : ( voir aussi Fonctions particulières )
    w(x)= limite quand M tend vers l'infini de cos(x)+1/2 cos(2x)+...+1/(2M) cos(2M x)
    ou encore w(x)=cos(x)+1/2 cos(2x)+...+1/(2m) cos(2m x)+ ...
  19. Elle est partout continue mais jamais dérivable!.

    En représentant S(x,M)=cos(x)+1/2 cos(2x)+ ... +1/(2M) cos(2Mx) pour des valeurs successives de M, on peut découvrir progressivement w.
    f(x)=cos(x) ; g(x)=2-m cos(2mx) )
    Afficher ensuite les valeurs de ( M, S(x0,M) ) pour différentes valeurs de x0, et conclure.
    Vérifier ensuite que la dérivée est w'(x)= -sin(x)-sin(2x)-sin(4x)- ... -sin(2m x)- ...
    En représentant S(x,M)= -sin(x)-sin(2x)-sin(4x)- ... -sin(2M x) pour des valeurs successives de M, on peut découvrir progressivement w'.
    Afficher ensuite les valeurs de ( M, S(x0,M) ) pour différentes valeurs de x0, et conclure.

  20. Montrer que la limite quand m tend vers l'infini de sin(1/m²)+sin(2/m²)+ ... +sin(m/m²) est 1/2.

Soit S = cos(1/m²)+cos(2/m²)+ ... +cos(m/m²) et S' = sin(1/m²)+sin(2/m²)+ ... +sin(m/m²).
Le lecteur vérifiera " aisément " par le calcul de S+iS' où
S+iS' = cis(1/m²)+cis(2/m²)+ ... +cis(m/m²) =
( cis((m+1)/m²) - cis(1/m²) ) / ( cis(1/m²) - 1 ) = ...
que S = ( cos((m+1)/(2m²)) sin(1/(2m)) ) / sin(1/(2m²))
et S' = ( sin((m+1)/(2m²)) sin(1/(2m)) ) / sin(1/(2m²))
On vérifie ensuite que S tend vers plus l'infini et S' vers 1/2 lorsque m tend vers l'infini.

Une exploration graphique pour m=50.

Soit S(x,M)=sin(x/2500)+sin(2x/2500)+...+sin(Mx/2500)
On définit f(x)=0 ; g(x)=sin(mx/2500) et h(x)=sin((x+1)/(2x²)) sin(1/(2x)) / sin(1/(2x²)) et on choisit un repère avec x maximum égal à 55 par exemple.
On fait varier M de M1=1 à M2=50 et on clique sur S(x,M).
On choisit ensuite x0=1 puis on clique sur (M,S(x0,M)).
On lit alors la valeur de S(1,50) égale à 0.509983...
En cliquant sur h(x) on vérifie graphiquement que h(50)=S(1,50).
Pour vérifier numériquement la valeur de h(50), revenez à Définir, choisissez par exemplea=49, b=50, p=1 et cliquez sur Valeurs de h(x).

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3. Fonctions en coordonnées paramétriques

Le premier programme représente le graphe des fonctions dont les coordonnées paramétriques sont : x = x(t) et y = y(t) pour t variant de a à b par pas de p. De plus, il fournit les valeurs numériques des coordonnées des points en fonction de la valeur du paramètre.

Le second programme, beaucoup plus général, représente le graphe d’une à quatre fonctions dont les coordonnées paramétriques sont : x = xi(t, m) et y = yi(t, m) (1<=i<=4) pour t variant de a à b par pas de p, le paramètre m pouvant varier de m1 à m2 par pas de q.

On pourra l’employer par exemple pour suivre l’évolution en fonction du paramètre m des graphes de fonctions en coordonnées cartésiennes, paramétriques ou polaires, pour étudier une fonction complexe d’une variable complexe.

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a. Coordonnées paramétriques d’une fonction.

Exemples :

Représenter les courbes d'équation :

  1. x(t)=2t ; y(t)=t² -1 ; -1 £ t £ 2 ; (arc de parabole)
  2. x(t)=sin(2t) ; y(t)=cos(t) ; 0 £ t £ 2p  ; (une courbe de Lissajous)
  3. x(t)=2(t-sin(t)) ; y(t)=2(1-cos(t)) ; (Cycloïde)
  4. x(t)=2cos(t)-cos(2t) ; y(t)=2sin(t)-sin(2t) ; 0 £ t £ 2p (Hypocycloïde)
  5. x(t)=3cos(3t) ; y(t)=3 sin(3t) ; (Astroïde)
  6. Interpréter des équations paramétriques d’une droite, d’un cercle, …

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b. Coord param. d’une à 4 fonctions avec paramètre.

Exemples :

1) Représenter graphiquement : f(x)=(m+1)/(m-2)+x/(x+1)-1

Il suffit de choisir : x(t)=t et y(t)=(m+1)/(m-2)+x/(x+1)-1
Faites varier m et résolvez par exemple f(x)<0

2) Représenter graphiquement la conique dont l'équation polaire est r(t)=1/(1+m*cos(t)). (m étant l'excentricité).

Il suffit de choisir : x(t)=1/(1+m*cos(t))*cos(t) et y(t)=1/(1+m*cos(t))*sin(t)
Faites varier m pour retrouver le cercle, les ellipses, la parabole et les hyperboles.

3) Soit f(z) = 1/z , z étant le nombre complexe x + i y

On a : f(x+iy)=1/(x+iy)=(x-iy)/(x²+y²)=x/(x²+y²)-iy/(x²+y²)

  1. Cherchons l'image par f des points de la droite d'équation x=m.
    f(m+it)=m/(m²+t²)-it/(m²+t²).
    Des équations paramétriques de ces points sont : x(t)=m/(m²+t²) et y(t)=-t/(m²+t²).
    Cherchons ensuite l'image par f des points de la droite d'équation y=m.
    f(t+im)=t/(t²+m²)-im/(t²+m²).
    Des équations paramétriques de ces points sont : x(t)=t/(m²+t²) et y(t)=-m/(m²+t²).
    Faites varier m pour retrouver l'image de la grille.
  2. Cherchons ensuite  l'image par f des points de l'ellipse d'équations paramétriques :
    x=3cos(t) et y=2sin(t).
    f(3cos(t)+2isin(t))=3cos(t)/(9cos²(t)+4sin²(t))-2isin(t)/(9cos²(t)+4sin²(t)).
    Des équations paramétriques de ces points sont :
    x(t)= 3cos(t)/(9cos²(t)+4sin²(t)) et y(t)=-2sin(t)/(9cos²(t)+4sin²(t)).
    ( Ici le paramètre m n’intervient pas )
  3. Cherchons enfin l'image par f des points de la courbe y=x²-1.
    f(t+i(t²-1))=t/(t²+(t²-1)²)-i(t²-1)/(t²+(t²-1)²).
    Des équations paramétriques de ces points sont :
    x(t)= t/(t²+(t²-1)²) et y(t)=-(t²-1)/(t²+(t²-1)²).
    ( Ici encore, le paramètre m n’intervient pas )

4) Sachant que sin(x+iy)=sinx chy + i cosx shy, cos(x+iy)=cosx chy - i sinx shy, … on peut s'inspirer de l'exercice précédent pour rechercher l'image de la grille, d'un cercle, d'une courbe y=g(x) ... par une fonction définie par f(z)=sinz, f(z)=cos(z), ...

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  4. Fonctions en coordonnées polaires

Le programme représente le graphe des fonctions dont les coordonnées polaires ( t , r ) sont données par r = r(t) pour t variant de a à b par pas de p.
De plus, il fournit les valeurs numériques des coordonnées cartésiennes des points correspondants.

Remarque :
Pour représenter r(t)=2 cos(t)±1, choisissez r(t)=2 cos(t)+1 et s(t)=2 cos(t)-1.
Cliquez ensuite sur r(t) puis sur s(t).
Grâce aux boutons –r(t), r(-t), -r(-t) on pourra étudier les éléments de symétrie de la courbe.

Exemples :

1) Représenter les courbes suivantes :

a) r(t)=0.5t (Spirale d'Archimède) (t³ 0)
b) r(t)=exp(t)/10 (Spirale logarithmique)
c) r(t)=3/t (t>0) (Spirale hyperbolique) et l'asymptote (y=3)
d) r(t)= 3/Ö t (Spirale parabolique de Lituus)
e) r(t)=10 sin(t)/t (Cochléoïde) (t>0)
f) r(t)=25-9 sin²t (Ovale de Cassini)
g) r(t)=2 cos(t)±1 (±2, ±3) (Conchoïde de cercle)
h) r(t)=2/cos(t)±1 (±2, ±3) (Conchoïde de droite)
i) r(t)=3 Ö (sin(t))/cos(t) (Cissoïde)
j) r(t)= ± Ö (8cos(2t)) (Lemniscate de Bernoulli)
k) r(t)=3 (1±cos(t)) / sin(t) (Strophoïde)
l) r(t)=3+cos(4t)+sin(7t)

2) Construire un pentagone inscrit dans un cercle de rayon 2.

Solution : Soit r(t)=2 ; t varie de 0 à 2 p par pas de 2 p /5.

3) Comparer r(t)=exp(t/10) et s(t)=exp(t)/10.

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5. Fonction définie en n morceaux

Vous pourrez représenter une fonction définie en au plus 6 morceaux, et préciser ses valeurs aux extrémités des morceaux.

Remarque.
Pour indiquer que f n'est pas définie sur ]a, b[, il suffit de choisir sur cet intervalle une fonction fn telle que fn(x) = Ö (-1) par exemple. (1 £ n £ 6).

Exemple :

Représenter f = f1 È f2 È f3 avec :

f1(x) = sin(4x)-2 ssi –4 < x £ -1
f2(x) = x²-2x-2 ssi –1<x<2
f2(x) =1 ssi x=2
f3(x) = 1+cos(3x) ssi 2 < x £ 4

 

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6. Intégrales définies

Soit S l'intégrale définie de a à b de f(x) dx.       (a<b) :

Une approximation de S est la somme Sn des aires Ai calculées sur chaque intervalle [xi-1, xi] par la méthode

  1. des rectangles (gauche) où Ai = (xi - xi-1) f(xi-1)
  2. des rectangles (droite) où Ai = (xi - xi-1) f(xi)
  3. des rectangles (milieu) où Ai = (xi - xi-1) f( (xi-1 + xi)/2 )
  4. des trapèzes où Ai = (xi - xi-1) ( f(xi-1)+f(xi) ) / 2
  5. de Simpon où Ai = (xi - xi-1) ( f(xi-1)+f(xi)+4 f( (xi-1 + xi)/2 ) ) / 6
  6. de Hermite où Ai = (xi - xi-1) ( f(xi-1)+f(xi) ) / 2 + (xi- xi-1)² ( f'(xi-1)-f'(xi) ) / 12

Une approximation de S est la somme Sn des aires Ai calculées sur chaque intervalle [xi-1, xi] par la méthode des subdivisions aléatoires où Ai = (xi - xi-1) f(ci) , ci étant un réel aléatoire tel que ciÎ [xi-1 ; xi]..

Dans tous les cas :

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a. Comparaison des méthodes d’intégration.

On pourra comparer sept méthodes de calcul des intégrales définies :

  1. méthode des rectangles (gauche, milieu, droite selon que la hauteur est f(borne gauche) ou f(milieu) ou f(borne droite)) de l'intervalle).
  2. méthode des trapèzes
  3. méthode de Simpson
  4. méthode d'Hermite (basée sur l’intégrale de a à b de f(x) dx= (b-a) (f(a)+f(b))/2+(b-a)²(f’(a)-f’(b))/12. )
  5. méthode des subdivisions aléatoires. Le calcul est aussi réalisé avec des intervalles de longueur aléatoire, avec f(nombre aléatoire de l'intervalle), ce qui ne présente qu'un intérêt théorique évidemment !

De plus le Schéma de Romberg est développé pour les plus curieux.

 

On calcule d’abord les réels

de la première colonne, qui représentent les approximations de S, obtenues par une méthode choisie (rectangle (gauche, droite, milieu), trapèzes, Simpson, Hermite), en partageant l’intervalle [a ; b] respectivement en 1, 2, 4, 8, … intervalles égaux.

On calcule ensuite les réels des colonnes suivantes, à l’aide de la formule de récurrence :

Le dernier réel calculé est la meilleure approximation.

Exemples :

  1. Comparer les méthodes d'intégration pour le calcul de
    1. La méthode de Simpson s'applique-t-elle exactement à un polynôme du troisième degré ? Justifier
    2. Calculer le réel p de deux manières différentes et justifier :

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    b. Interprétation graphique.

    On pourra interpréter graphiquement six méthodes de calcul des intégrales définies :

    1. méthode des rectangles (gauche, milieu, droite selon que la hauteur est f(borne gauche) ou f(milieu) ou f(borne droite)) de l'intervalle.
    2. méthode des trapèzes
    3. méthode de Simpson
    4. méthode des subdivisions aléatoires, ce qui ne présente qu'un intérêt théorique évidemment !

    Exemples : Interpréter graphiquement les méthodes d'intégration de

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    7. Suites et séries

    En plus des suites arithmétiques et géométriques, vous pourrez définir d'autres suites ou séries, les représenter graphiquement, choisir et visualiser des tests de convergence (de d'Alembert, Cauchy, Leibnitz), comparer ces graphiques avec celui d’une fonction si nécessaire, et afficher les valeurs numériques correspondantes.

    Pour améliorer la lisibilité des graphiques, les points pourront être reliés par des segments de droite.

    Deux suites particulières sont ajoutées pour les plus curieux.

    Exemples.

    1. On considère la suite arithmétique -4, -1, 2, 5, ... de 10 termes. Représenter graphiquement la suite et trouver la somme des 10 termes.
    2. On considère la suite géométrique 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, et 4 de 6 termes. Représenter graphiquement cette suite et trouver la somme et le produit des 6 termes.
    3. Montrer que la suite u(n+1)=( 2+u(n) ) / ( u(n)+1 ) tend vers racine de 2 quand n tend vers l'infini.
    4. On considère la suite définie par u(n+2)=u(n+1)+u(n) avec u(1)=u(2)=1 (suite de Fibonacci).
      Montrer que u(n+1) / u(n) tend vers le nombre d'or, quand n tend vers l'infini. ( nombre d'or = (1+Ö 5)/2 = 1.61803... ). Choisissez aussi d’autres valeurs initiales pour u(1) et u(2).
    5. On considère la suite des sommes partielles s(n) = u(1) + u(2) + ... + u(n) avec u(n) = 1/n. Montrer que s(n) - ln(n) tend vers une constante (constante d'Euler) quand n tend vers l'infini.
    6. Représenter la suite u(n)=23n+1 / nn et observer que la suite des sommes partielles u(1) + u(2) + ... semble converger. ( Attention, ne dépassez pas n=25 pour éviter le débordement en virgule flottante ).

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    8. Polynômes de Taylor

    Les polynômes d'approximation des fonctions sin(x), cos(x), exp(x), 1/(1-x), ln(1+x), sh(x), ch(x), arcth(x) et arctg(x) sont représentés graphiquement, ainsi que leur ordre.

    De plus, pour ces mêmes fonctions, deux problèmes habituels sont traités :

    le calcul de l'ordre minimum pour un x et un majorant donnés
    le calcul d'un majorant pour un x et un ordre donnés.

    (Voir aussi : Somme de fonctions à paramètre m entier)

    Exemples :

    1. Jusqu’à quel ordre faut-il développer cos(x) pour que l’erreur commise en prenant pour cos(5) le développement jusqu’à cet ordre soit certainement inférieure à 10-6. Vérifier graphiquement.
    2. Trouver un majorant de l’erreur commise en prenant pour exp(1) le développement jusqu’à l’ordre 10. Vérifier graphiquement.

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    9. Fonctions particulières

    La fonction w(x) de Weierstass est la somme quand n varie de 0 à l'infini des termes d'expression générale
    2-n cos(2n x).

    La fonction v(x) de Van der Waerden est la somme quand n varie de 0 à l'infini des termes d'expression générale
    4-nv0(4nx) où v0(x) est une fonction périodique, de période 1, telle que v0(x) = x pour 0 £ x<0.5 et v0(x)= 1-x pour 0.5£ x £ 1.

    Ces fonctions sont des exemples de fonctions continues en tout point et dérivables en aucun point.
    On pourra s’en convaincre en représentant ces fonctions et leurs dérivées pour des valeurs successives de n.

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