H. Analytique

1. Etude de la droite.

Voir le premier degré.

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2. Etude de la parabole.

Voir le deuxième degré.

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3. Eléments d'un triangle.

Donnez les coordonnées des sommets d'un triangle, vous obtiendrez les équations et la représentation graphique des côtés, des médianes, des hauteurs, des médiatrices, des bissectrices intérieures et extérieures, la coordonnée du centre de gravité, de l'orthocentre, du centre du cercle circonscrit, inscrit, des cercles exinscrits et les rayons de ces cercles, les longueurs des côtés, les angles du triangle et son aire, la droite d'Euler qui joint les points d'intersection des médianes, médiatrices et hauteurs. En opérant ces choix, l’élève se familiarisera davantage avec ces éléments.

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4. Etude des coniques

a. Graphe d’une conique.

Donnez les coefficients de l'équation générale du second degré, l'ordinateur affichera la conique correspondante et ensuite ses éléments (déterminant caractéristique, genre, intersection avec les axes, centre, asymptotes, axes, sommets, foyers, directrices, ouverture, équation réduite).

Dans le menu Affichage choisissez ceux de ces éléments que vous voulez afficher.

Enfin vous pourrez calculer les intersections d'une conique et d’une droite, les tangentes à une conique issues d'un point, ou aux points d'intersection d'une conique et d'une droite, ou de direction donnée, la polaire d'un point, le pôle d'une droite, les polaires de points d'une droite, la valeur numérique de Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F.

Exemples :

  1. Représenter la conique C º 13x²+10xy+13y²+42x-6y-27=0. Déterminer tous ses éléments, et trouver les équations des tangentes comprenant le point (1,3).
  2. Montrer que les polaires de points de d º 2x-y+1=0 par rapport à la conique C  º -4x²+xy+y²-1=0 comprennent bien le pôle de cette droite par rapport à cette conique.
  3. Montrer que les polaires de points de d º x+3y=0 par rapport à la conique C º 4x²+9y²-36=0 comprennent bien le pôle de cette droite par rapport à cette conique.

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  b. Faisceaux de coniques.

Définissez les coniques C1 et C2 de base du faisceau ou la conique C(t). Définissez aussi les droites d ou d(t). Faites votre choix dans le menu Affichage.

Vous pourrez alors découvrir un lieu géométrique de centres, de sommets, de foyers, de pôles et opter pour un affichage d'une conique à la fois par écran ou celui de plusieurs coniques et/ou droites.

Exemples :

  1. Montrer que le lieu géométrique des centres du faisceau de coniques engendré par C1 º x²+y²-2x+2y-3=0 et C2 º xy=0 est la droite d’équation x+y=0.
  2. Montrer que le lieu géométrique des sommets du faisceau de coniques d'équation C º x²+txy +y²+16=0 a pour équation x²-y²=0.
  3. Trouver le lieu des pôles de la droite d º x+y-1=0 par rapport au faisceau de coniques d'équation : x²+y²-9+t(xy-1)=0. (t varie de -10 à 10 par pas de 0.25).

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I. Trigonométrie

1. Nombres trigonométriques d'un angle.

Le programme calcule les N.T. d'un angle, les N.T. trigonométriques inverses et interprète les résultats sur le cercle trigonométrique.

Exemples :

  1. Calculez les nombres trigonométrique de 510°
  2. Trouvez l’angle dont la tangente est Ö 3/3 et compris entre -90° et 90°.

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  2. Résolution des triangles rectangles.

Entrez les éléments du triangle sans oublier de choisir les unités souhaitées. La solution apparaîtra ainsi que le triangle.

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3. Résolution des triangles quelconques.

Entrez les éléments du triangle sans oublier de choisir les unités souhaitées. La solution apparaîtra ainsi que le triangle.

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4. Equations trigonométriques.

Ce programme résout les équations trigonométriques simples :

Une interprétation graphique suivra et, si une période est 360°, les solutions (en rouge sur le graphique) seront représentées sur un cercle trigonométrique.

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5. Inéquations trigonométriques.

Ce programme résout les inéquations trigonométriques simples :

(³ 0, <0, £ 0) avec interprétation graphique et représentation de la solution sur un cercle trigonométrique.

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J. Systèmes linéaires.

1. Système de n équations à p inconnues.

Le programme résout un système de n équations linéaires à p inconnues, donne la solution en fonction des valeurs arbitraires données aux inconnues non principales et le degré d'indétermination du système.
Il détermine encore le rang de la matrice de genre (n,p) du système et calcule le cas échéant le déterminant (si n=p).
A la demande on peut rendre le système homogène, comparer sa solution au système initial, puis revenir à celui-ci.

Exemples : (Voir aussi Fiche 32)

  1. Résoudre le système :  6x1+8x3-5x4=1 et -8x2+5x3+2x4=4
  2. Observer que la solution du " système " de 1 équation à 2 inconnues fournit des équations paramétriques d'une droite du plan.
  3. Observer que la solution du " système " de 1 équation à 3 inconnues fournit des équations paramétriques d'un plan.
  4. Observer que la solution du système de 2 équations à 3 inconnues fournit des équations paramétriques d'une droite de l’espace.
  5. Comparer la solution d'un système avec la solution du système homogène correspondant.

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2. Système de 1 à 3 équations à 2 inconnues à paramètre

D'un système de 1 ou 3 équations à 2 inconnues à paramètre t, vous pouvez obtenir une interprétation graphique, et les solutions numériques lorsque le paramètre t varie de a à b par pas de p par série de 1 à 10 valeurs.

Exemples : (Voir aussi Fiche 33)

  1. Etudier graphiquement et numériquement le système :
  2. x sin(t) – y cos(t) = 1 et x cos(t) – y sin(t) = 1
    et montrer que la droite d º x+y=0 contient l'ensemble des solutions.

  3. Résoudre le système :
  4. (t²-1)x+5y=-3-t et 3x+(t²+1)y=3-4t

  5. Interpréter graphiquement les équations paramétriques d'une droite :
  6. x=2t+1 et y=t+2

  7. Interpréter graphiquement les équations paramétriques d'un cercle :
  8. x=2+cos(t) et y=1+sin(t)

  9. Représenter la famille de tangentes à un cercle º x cos(t)+y sin(t)=1.
  10. On considère le triangle OAB. O(0,0), A(1,0), B(0,1).
  11. Une droite mobile d parallèle à OA coupe OB en C et AB en D. Trouver le lieu géométrique de l'intersection P de OD et AC.

    Soit C(0,t). On vérifie que OD º tx+(t-1)y=0 et AC º tx+y-t=0.

  12. On considère le triangle OAB. O(0,0), A(2,0), B(0,1).
  13. Une droite mobile d comprenant le milieu M de OA coupe OB en C et AB en D. Trouver le lieu géométrique de l'intersection P de OD et AC.

    Soit C(0,t). On vérifie que OD º - tx+(-2t+2) y=0 et AC º tx+2y-2t=0.

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3. Système de 1 à 3 équations à 3 inconnues à paramètre.

D'un système de 1 à 3 équations à 3 inconnues à paramètre t, vous pouvez obtenir une interprétation graphique, et les solutions numériques lorsque le paramètre t varie de a à b par pas de p par série de 1 à 10 valeurs.

Exemples : (Voir aussi Fiche 34)

  1. Résoudre le système :
  2. tx+(t+2)y+2z=1 et (t+2)y+(t+2) z=0 et 2x+y+(t-3)z=2

  3. Interpréter graphiquement les équations paramétriques de la droite :
  4. x=3t+3  et y=2t+2  et z=t+2

  5. Interpréter graphiquement la famille de plans º (t²-1)x-y-tz=0
  6. Interpréter graphiquement la famille de droites :
  7. (t²-1)x-y-tz=0 et x+(t+1)y+(t+1)z=t

  8. Interpréter graphiquement les équations paramétriques d'une hélice :
  9. x=cos(t) et y=sin(t) et z=t

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K. Les Vecteurs.

Ce programme calcule la somme, la différence, le produit d'un vecteur par un réel, et toute combinaison linéaire de p vecteurs d'un vectoriel de dimension n (1 £ p, n £ 4). Il décompose un vecteur donné en combinaison linéaire de p vecteurs donnés et reconnaît si une partie de p vecteurs est libre, génératrice ou base du vectoriel.

Une représentation graphique sera proposée si n=1 ou 2 ou 3.

A la demande des données aléatoires placeront l'utilisateur dans des situations qu'il n'avait peut-être pas prévues.

Exemples : (Voir aussi Fiche 31)

  1. Décomposer le vecteur OP comme combinaison linéaire des vecteurs OA, OB et OC, sachant que A(4,1), B(3,-2), C(-1,5) et P(3,-7). Quel est le nombre de solutions? Que peut-on dire de la partie {OA,OB,OC}?
  2. Vérifier que dans un vectoriel de dimension n, toute partie de plus de n éléments est liée.
  3. Vérifier que toute partie d'une partie libre est libre.
  4. Vérifier que toute partie contenant une partie liée est liée.
  5. Vérifier que toute partie comprenant OO est liée.
  6. Vérifier que toute partie contenant une partie génératrice d'un vectoriel est génératrice de ce vectoriel.
  7. Vérifier que toute partie d'une partie non génératrice d'un vectoriel est non génératrice de ce vectoriel.

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L. Algèbre linéaire.

1. Les matrices.

Le programme permet de calculer si possible la somme et le produit de deux matrices, le produit d'une matrice par un scalaire, la transposée, l'inverse, le déterminant d'une matrice, la matrice orthogonale d'une matrice donnée, une matrice semblable à une matrice donnée.

Les matrices peuvent être mises en mémoire, ce qui facilite le calcul d'expressions matricielles plus élaborées.

Exemple :

Résoudre l’équation :

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2. Vecteurs propres et valeurs propres

Les valeurs propres et vecteurs propres sont calculés pour des matrices d'ordre 2, 3 ou 4.

Exemples :

1) Interpréter :
2) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices suivantes :

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M. Complexes

1. Les nombres complexes.

Vous pourrez trouver la forme goniométrique et exponentielle d'un nombre complexe à partir de sa forme algébrique et inversement, résoudre l'équation du second degré à coefficients complexes, extraire les racines n-ièmes d'un complexe, élever un complexe à la puissance n, faire la somme, le produit, le quotient de deux complexes, le produit d'un complexe par un réel et représenter les résultats dans le plan complexe.

Exemples :

  1. Résoudre l’équation (1+2i)x²+(3i-1)x-1+2i=0.
  2. Trouver les racines huitièmes de 1+iÖ 3/2
  3. Effectuer le produit de 4+2i par -1+3i.
  4. Calculer la 9éme puissance de 0.866025+0.75i.

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2. Polynôme de degré inférieur à 4 dans C.

Voir Polynômes.

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N. Analyse combinatoire

On pourra afficher ou simplement dénombrer les arrangements, combinaisons et permutations, simples ou avec répétitions.
Les objets considérés sont les premiers entiers strictement positifs ou les premières lettres de l'alphabet ou d'un mot de votre choix (selon votre choix).
Si nécessaire, pressez <Esc> pour revenir au menu, lors de l'affichage des suites.

Exemples :

  1. Former les anagrammes du mot NAMUR
  2. Former les anagrammes du mot KAYAK
  3. Afficher les pièces d’un jeu de dominos.

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