O. Statistique

1. Statistique à caractère discret

Commencez par introduire les données, soit en chargeant un fichier déjà constitué, soit en créant un tel fichier, soit en utilisant les données obtenues par simulation d'un des problèmes de probabilité (lancer de p pièces, de p dés, somme des points de 2 dés, de 3 dés, tirages des lettres d’un mot, boules rouges et boules vertes).

Vous pouvez aussi introduire des données aléatoires, dont le seul intérêt est de découvrir vite et facilement le programme ou ... de tester la qualité du générateur de nombres aléatoires !

A tout moment, vous pourrez corriger une donnée, en ajouter, en supprimer, sauver les données d'un tableau brut ou recensé. Un tableau brut *.sdb pourra être chargé dans Statistique à caractère groupé.

Vous pourrez ensuite afficher le tableau brut, le tableau ordonné, le tableau recensé, le tableau des paramètres, le tableau des calculs, afficher le diagramme en bâtons des effectifs (des fréquences), et si la question a un sens, superposer la loi binomiale, de Poisson, de Gauss (loi normale), de Fisher-Student, de Pearson (du ‘Chi-deux’), de Fisher-Snedecor, et comparer le diagramme en bâtons à une de ces lois, ensuite afficher le polygone des effectifs (des fréquences) cumulés et enfin les quartiles.

Les représentations graphiques sont réalisées sobrement, comme dans les manuels, pour être plus proches de celles que l'on exigera de l'élève.

Exemples :

  1. On lance 1000 fois 100 pièces de monnaie, et on note chaque fois le nombre d'apparitions de 'Face'. Traiter statistiquement ces 1000 nombres et comparer avec la loi normale.
  2. Ouvrir le fichier recensé 'MAXI95.SDR' relatif aux résultats de la maxi éliminatoire de l'olympiade 95. Superposer au tableau des effectifs la courbe normale.

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2. Statistique à caractère groupé.

Comme dans le cas précédent, mais avec formation de classes et possibilité d'en modifier le nombre et les intervalles.

On pourra ouvrir le fichier d’un tableau brut *.sdb préalablement enregistré dans Statistique à caractère discret et former des classes.

Exemple :

On a relevé les tailles de 86 jeunes de 18 ans. Former les tableaux, ordonné, recensé, ( 9 classes ), des paramètres et représenter les diagrammes.
( Les 86 tailles sont sauvées dans le fichier TAILLE18.SGB ).

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3. Statistique à deux caractères.

Chargez ou créez un fichier de données. Les points du nuage du diagramme sont les centres de cercles dont le rayon est proportionnel à l'effectif de ces points.

Exemples :

On a relevé l'âge et la taille de 86 jeunes de 14 à 18 ans, pour découvrir une éventuelle corrélation. Ces résultats sont contenus dans le fichier 'AGETAIL.ST2'.
Trouver les droites de régression et faire le diagramme.

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4. Droite des moindres carrés

Comme dans le cas précédent, mais chaque point a évidemment pour effectif 1.

Exemple.

Six résultats d'une expérience de laboratoire sont consignés dans le fichier 'TEST.SMC'.
Peut-on raisonnablement penser que les six points obtenus sont alignés ?

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P. Espace.

1. Droites et plans dans l'espace.

Ce programme fournit les équations paramétriques et cartésiennes d'un plan et d'une droite, d'un plan comprenant trois points, deux points et une direction, un point et deux directions, d'une droite comprenant deux points, un point et une direction.
Il donne des équations paramétriques d'un plan ou d'une droite dont on donne les équations cartésiennes.
Il calcule l'intersection et l'angle de deux plans, de deux droites, d'une droite et d'un plan, l'intersection de trois plans, l'équation d'un plan comprenant un point et parallèle à un plan ou perpendiculaire à une droite, les équations d'une droite comprenant un point et parallèle à une droite ou perpendiculaire à un plan, l'équation du plan médiateur d'un segment, des plans bissecteurs de deux plans sécants, les équations d'une droite s'appuyant sur deux droites gauches et comprenant un point donné ou de direction donnée, de la perpendiculaire commune à deux droites gauches et la distance de ces droites, l'angle de deux droites gauches, la distance d'un point à une droite, à un plan. Le programme fournit ensuite une représentation géométrique des éléments calculés.

Exercices :

  1. Trouver la perpendiculaire commune d aux droites gauches a et b.
  2. Equations paramétriques de a : x=r+2 ; y=-2r-3 ; z=r
    Equations cartésiennes de b : -x+2y-3z+4=0 ; 4x-3y+2z-1=0.

  3. Trouver la droite d, parallèle à c et s'appuyant sur les droites gauches a et b.
  4. Equations paramétriques de c : x=2r-8 ; y=-r+3 ; z=r
    Equations cartésiennes de a º 2x+y-1=0 ; x-z-2=0.
    Equations cartésiennes de b º -x+2y-3z+4=0 ; 4x-3y+2z-1=0.

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2. Courbes et surfaces réglées

A partir des coordonnées paramétriques des points A, B et C, le programme représente le graphe de la courbe décrite par le point A ou B ou C, la surface engendrée par le segment ou la droite AB ou AC ou BC, ou le triangle ABC.

Exemples :

  1. Interpréter graphiquement la courbe (hélice) d'équations paramétriques :
  2. x=cos(t), y=sin(t), z=t/2/p

  3. Interpréter graphiquement les équations paramétriques de la droite : x=t+1, y=2t-1, z=t.

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3. Surfaces dans l'espace

Un point P de la surface a pour coordonnée paramétrique :

( m , t , f1(m,t) ) ou
( m , f2(m,t) , t ) ou
(f3(m,t) , m , t ) ou
(f4(m,t), f5(m,t), f6(m,t) ).

Dans les trois premiers cas, on pourra choisir l’option En fil de fer ou En vu et caché.

Pour représenter la surface, on choisira :

Exemples :

  1. Représenter la sphère x²+y²+z²-1=0.
    ( Choisir par exemple les points (m, t, f1(m, t) ), avec f1(m,t)= Ö (1-m²-t²) et l'option ± ).
  2. Remarque : on peut aussi choisir les coordonnées paramétriques :
    x=cos(m) sin(t), y=sin(m) sin(t), z=cos(t).
    avec f4(m,t)=cos(m) sin(t), f5(m, t)=sin(m) sin(t), f6(m, t)=cos(t).

  3. Représenter la surface z=cos(x)+sin(y)
  4. ( Choisir par exemple les points (m, t, f1(m, t) ), avec f1(m,t)=cos(m)+sin(t)

  5. Interpréter graphiquement les équations paramétriques du plan : x=t+m+1, y=t-m+1, z=t+2m+1.

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4. Solides de révolution

Le programme représente le solide engendré par la courbe dont on donne les équations paramétriques, ou par un polygone dont on donne les coordonnées des sommets, dans sa rotation autour de Ox ou de Oy ou de Oz.

Exemples :

  1. On considère dans le plan xOy le cercle décrit par le point A(0.5 cos(t)+1, 0.5 sin(t)+2, 0).
    Représenter graphiquement le solide engendré par ce cercle dans sa rotation autour de l'axe Ox.
  2. On considère dans le plan yOz le trapèze de sommets P1 (0,0,0), P2 (0,3,0), P3 (0,3,2) et P4 (0,0,1).
  3. Représenter graphiquement le solide engendré par ce trapèze dans sa rotation autour de l'axe Oy.

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Q. Fractales.

1. Fractales naturelles

Les fractales naturelles font intervenir le hasard.
On représentera une montagne fractale, et des fractales obtenues par la méthode IFS (Iterated Functions System).
Pour un choix convenable des matrices on représentera une fougère et il sera possible de rechercher d’autres matrices et ainsi de créer d’autres fractales.

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2. Fractales géométriques

Le programme permet la représentation de triangles en cascade, de fractales linéaires (courbe et flocon de Von-Koch, ensemble de Cantor, courbe de Peano, carrés, losanges, arbres, polymères), et d’en créer de nouvelles à partir d’une graine, d’un segment de graine et de la fractale d’ordre zéro de son choix.

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3. Ensembles fractals

Ce programme permet la représentation des ensembles de Mandelbrot, de Julia et des courbes de Julia, selon les indications données dans Options et Couleurs. L’étude de ces ensembles suggère la recherche d’autres ensembles fractals. Il suffira de cliquer sur le bouton Définir dans le cadre Ensemble de votre choix.

Mais de quoi s’agit-il ?

Orbite d’un point P1.

Dans le programme Suites et séries on a représenté des points Pn de coordonnée (n ; u(n+p) ) (avec p £ 9).

Représentons maintenant des points de coordonnée (x(n+p) ; y(n+p)) (avec p £ 9).où x(n+p) et y(n+p) sont des fonctions de x(n+k) et y(n+k) avec k<p.

Si p³ 1, les coordonnées dépendent (explicitement ou non) de x(1) et de y(1).

Soit par exemple : x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1)+0.6   et   y(n+1)=2 x(n) y(n)+y(1)-0.9

On a donc :

P1 ( x(1) ; y(1) )
P2 ( x(2) ; y(2) ) où x(2)=x²(1)-y²(1)+x(1)+0.6 et y(2)=2x(1)y(1)+y(1)-0.9
P3 ( x(3) ; y(3) ) où x(3)=x²(2)-y²(2)+x(1)+0.6 et y(3)=2x(2)y(2)+y(1)-0.9
………….
Pn+1 ( x(n+1) ; y(n+1) ) où x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1)+0.6 et y(n+1)=2x(n)y(n)+y(1)-0.9

Par définition, l'orbite de P1 (x(1), y(1)) est l'ensemble des points P1, P2, P3, … ,Pn+1, ….

Dans Ensemble de votre choix, cliquez sur Définir pour encoder x(n+1) et y(n+1), puis sur Orbite pour observer que l’orbite de P1(-0.5 ; 0.4 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et que celle de P1( -0.11 ; 0.34 ) tend à rejoindre l'infini.

La représentation de ces orbites sera plus claire en convenant de relier chaque point par un segment de droite. (Voir Options).

Si l'orbite d'un point tend à rejoindre l'infini, son abscisse ou son ordonnée en valeur absolue finira par dépasser un réel V. On pourra choisir ce réel ainsi que le nombre maximum de points de l’orbite à calculer dans Options.

Ensemble de Mandelbrot

Soit x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1) et y(n+1)=2x(n)y(n)+y(1)

On pourra vérifier que l’orbite de P1( 0.3 ; 0.1 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et celle de P1( 0.4 ; 0.4 ) tend à rejoindre l'infini. Si l'orbite de P1 ne tend pas à rejoindre l'infini, alors P1 est élément de l’ensemble M de Mandelbrot et représenté en couleur.
Le point P1( 0.3 ; 0.1 ) est donc dans M, le point P1( 0.4 ; 0.4 ) n’y est pas.

On cherchera donc tous les points P1 (x(1),y(1)) éléments de M lorsque P1 balaye le rectangle de l'écran, de bas en haut et de gauche à droite.

Il suffira de cliquer sur le bouton Graphe du cadre Ensemble de Mandelbrot.

Pour observer une structure plus fine, choisissez par exemple

dans Repère, Repère de l’utilisateur, ensuite -0.2 £ x £ -0.15, 1 £ y £ 1.15,
dans Options N=14, V=100
dans Couleurs n1=7, n2=9, n3=11, n4=13, d1=0.00005, d2=0.01, d3=0.2,

puis cliquez à nouveau sur Graphe.

Remarques :

Ensemble de Julia

Soit x(n+1)=x²(n)-y²(n)+a et y(n+1)=2x(n)y(n)+b

Pour a = 0.3 et b = 0.2, on vérifiera que l’orbite de P1( 0.4 ; 0.5 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et que celle de P1( 0.505 ; 0.745 ) tend à rejoindre l'infini. Si l'orbite de P1 ne tend pas à rejoindre l'infini, alors P1 est élément de l’ensemble J de Julia et représenté en couleur.

Le point P1( 0.4 ; 0.5 ) est donc dans J, le point P1( 0.505 ; 0.745 ) n’y est pas.

On cherchera donc tous les points P1 (x(1),y(1)) éléments de J lorsque P1 balaye le rectangle de l'écran, de bas en haut et de gauche à droite.

L’ensemble de Julia correspond aux valeurs a=-1 et b=0. Cliquez sur Graphe pour l’obtenir.

Pour observer une structure plus fine, choisissez par exemple :

puis cliquez à nouveau sur Graphe.

Remarques :

 

Courbe de Julia

Si z(1) est dans l'ensemble de Julia J, alors z(2),z(3),...,z(n) le sont aussi.
Soit z'(p)=z(n+1), z'(p+1)=z(n), z'(p+2)=z(n-1), ... .
La relation z(n+1)=z²(n)+c devient z'(p)=z'²(p+1)+c ou encore z²(n+1)=z(n)-c.

Dans ce cas :

x(n+1)=±s Ö ( ( r(n) + x(n)-a )/2 )
y(n+1)=±s
Ö ( ( r(n) - x(n)+a )/2 )

avec

r(n)= Ö ( ( x(n)-a )² + ( y(n)-b )² )
s=1 si y(n)-b
³ 0
s=-1 si y(n)-b<0

Choisissez par exemple : x(1)=1 et y(1)=1 et ensuite a=-1 et b=0

Pour a=0 et b=0, la courbe de Julia est un cercle.
Pour a=-2 et b=0, la courbe de Julia est un segment.

 

Ensemble de votre choix

Reprenons les deux formules de récurrence utilisées plus haut :

x(n+1)=x²(n)-y²(n)+x(1)+0.6
y(n+1)=2x(n)y(n)+y(1)-0.9

et donc les points P1 ( x(1) ; y(1) ), P2 ( x(2) ; y(2) ), ... , Pn (x(n) ; y(n) ).

On sait que l’orbite de P1(-0.5 ; 0.4 ) ne tend pas à rejoindre l'infini, et que celle de P1( -0.11 ; 0.34 ) tend à rejoindre l'infini.

Si l'orbite de P1 ne tend pas à rejoindre l'infini, alors P1 est élément de l’ensemble fractal F de votre choix et représenté en couleur.
On cherchera donc tous les points P1 (x(1),y(1)) éléments de F lorsque P1 balaye le rectangle de l'écran, de bas en haut et de gauche à droite.

Remarques :

Couleurs de l’ensemble Fractal

Les points de la fractale sont représentés en rouge, vert, jaune, bleu clair selon que la distance des deux derniers points calculés de l'orbite est inférieure respectivement à d1, d2, d3 ( d1<d2<d3 ) ou supérieure à d3.

Les points situés en dehors de la fractale, sont représentés en gris jaune, vert, rouge ou fushia, selon que le numéro du dernier point calculé de l'orbite, dont l'abscisse ou l'ordonnée dépasse en valeur absolue le réel V, est inférieur respectivement à n1, n2, n3 et n4 ( n1<n2<n3<n4 ) ou supérieur à n4.

Les réels d1, d2, d3, n1, n2, n3, n4 seront choisis dans Couleurs.

Exemples :

  1. Représenter l'ensemble fractal engendré par la suite ( x(n+1), y(n+1) ) où
  2. x(n+1) = 1.1x²(n) - 0.9y²(n) + 0.3 et y(n+1) = 2.3x(n)y(n) + 0.1

  3. Construire un pentagone étoilé inscrit dans un cercle de centre ( 1 ; 2 ) et de rayon 1.
  4. On représentera en repère orthonormé les 6 premiers points de la suite définie par :
    x(n)=1+cos(n*144/180*p ) et y(n)=2+sin(n*144/180*p )

  5. Représenter les 6 premiers couples de la suite ( x(n+2) , y(n+2) ) sachant que
  6. x(n+2)=2y(n+1)-3x(n+1)-x(n)+2y(n)+1 et y(n+2)=x(n+1)-2y(n)-1
    avec ( x(1) , y(1) )=( -2 ; -5 ) et ( x(2) , y(2) )=( -2 ; 4)

Ensemble fractal et point fixe

Soit l'équation g(x) = x et le point P1 ( x(1), y(1) ), avec x(1) = x1 et y(1) = 0.

La suite des points P1, P2, ... , Pn ( x(n), y(n) ), obtenue en résolvant cette équation par la méthode du point fixe, forme l'orbite (en escalier ou en toile d'araignée) du point initial (x1,0).

On a successivement :

P1:  x(1) = x1 et y(1) = 0
P2:  x(2) = x(1) et y(2) = g( x(1) )
P3:  x(3) = y(2) et y(3) = y(2)
P4:  x(4) = x(3) et y(4) = g( x(3) )
P5:  x(5) = y(4) et y(5) = y(4)
P6:  x(6) = x(5) et y(6) = g( x(5) )
…………….
Pn+1:
        x(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * x(n) + ( 1-(-1)n+1 ) / 2 * y(n)
        y(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * g( x(n) ) + ( 1-(-1)n+1 ) / 2 * y(n)

Exemple :

Pour g(x) = 2.72 * x * (1-x), on a :

x(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * x(n) + ( 1-(-1)n+1 ) / 2 * y(n) (1)
y(n+1) = ( 1-(-1)n )/ 2 * 2.72 * x(n) * ( 1-x(n) ) + ( 1-(-1)n+1 ) / 2 * y(n) (2)

Avec les conventions de couleurs utilisées dans les ensembles fractals, on peut colorier les points ( x(1), 0 ) de l'axe Ox, selon que l'orbite du point tend ou non à rejoindre l'infini.

Après avoir défini les formules de récurrences x(n+1) et y(n+1) telles que (1) et (2), cliquez sur graphe et choisissez l'option : P1 ( x(1), 0 ). (V=100000, N=25, -1.5 £ x £ 2.5).

On verra apparaître au dessus de l'axe Ox une bande coloriée, censée représenter l'axe Ox fortement épaissi, et on vérifiera que l’ensemble des abscisses des points de départ (x1,0) donnant lieu à une solution est bien comprise strictement entre 0 et 1, c’est à dire dans la bande rouge bordée des bandes fushias..

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R. Quatre jeux.

1. Nombre mystérieux

Jeu de la découverte d'un nombre choisi entre deux bornes, par l'ordinateur ou l'utilisateur à l'aide de questions et réponses. Ce jeu constitue une excellente initiation à la dichotomie. Possibilité de modifier les bornes et d’accepter ou non de l’aide.

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2. Tours de Hanoï

Le Jeu est constitué de trois axes verticaux. L’axe de gauche comporte une pile de n disques de tailles décroissantes de bas en haut. Le jeu consiste à transférer les disques de cet axe sur l’axe de droite en observant les règles suivantes : il est interdit de placer un disque de taille supérieure sur un disque de taille inférieure, le nombre de déplacements doit être minimum, l’axe du milieu est un axe auxiliaire qui sert à empiler temporairement les disques.

L’utilisateur pourra observer comment procède l’ordinateur, puis tenter s’il le peut de faire mieux.

On démontre que pour n disques, il faut 2n-1 déplacements.

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3. Jeu des allumettes

D’un tas de n allumettes, on en prend au moins une et au plus p. Le joueur qui prend les dernières allumettes a gagné.
Deux options possibles : l’ordinateur joue le premier ou l’utilisateur.
Quelle est la stratégie à adopter pour gagner ?
Est-elle fonction de n et/ou de p ?

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4. Jeu " Le compte est bon "

Choisissez un des trois niveaux de difficulté, puis cliquez sur Question ou encodez le nombre de votre choix.
Cherchez votre solution, mémorisez-la ou écrivez-la si nécessaire.
En cliquant sur Une solution, l’ordinateur vous donnera la sienne, souvent très inattendue.
S’il n’en trouve pas, il cherchera une solution pour un nombre aussi proche que possible du nombre imposé, et indiquera au fur et à mesure les nombres pour lesquels il a échoué.

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