Troisième partieUTILISATION DE MENUMATH EN CLASSE.

L’informatique apporte de nouveaux moyens que l’enseignant doit quasi inéluctablement apprivoiser, parfois au prix de nombreux efforts d’adaptation et de réflexion.

Le logiciel Menumath, en particulier, est un de ces outils que l’enseignant pourra aisément utiliser pour tenter de faire voir et mieux comprendre son cours de mathématique par l’élève.

Les représentations graphiques qu’il offre ne sont pas indispensables à une bonne compréhension du sujet traité, une représentation mentale peut suffire et on s’en contentait d’ailleurs avant l’arrivée des ordinateurs. Mais puisqu’il est devenu possible de réaliser à l’écran ces images mentales, il serait dommage de s’en priver, d’autant que leur concrétisation à l’écran peut suggérer à l’utilisateur des hypothèses et conjectures nouvelles et devenir ainsi un outil d’investigation supplémentaire.

Pour s’en convaincre, cette troisième partie du fascicule voudrait, en quelques fiches non exhaustives, suggérer aux professeurs des pistes possibles d’utilisation du logiciel, et des exercices de prolongement à exécuter par des élèves au local d’informatique par groupe de 2 ou 3 par ordinateur.

Chacun pourra s’en inspirer afin d’en imaginer d’autres mieux adaptées à son cours, plus instructives et performantes en les enrichissant du fruit de son expérience personnelle, l’objectif étant toujours d’amener l’élève à une meilleure découverte du monde mathématique à l’aide de regards complémentaires.

Les graphiques et résultats obtenus pourront être utilement récupérés dans un traitement de texte. Ce sera encore une excellente occasion de plus pour mieux se familiariser avec l’incontournable traitement de texte.

On supposera évidemment que le professeur dispose d’un local équipé d’un ordinateur et d’un matériel ad hoc de projection (tablette digitale, …). La souris sera alors largement utilisée comme indicateur à l’écran.

En particulier, lorsqu’en passant sur un graphique, l’image du curseur devient une croix, le professeur pourra avantageusement l’utiliser pour marquer des points particuliers à l’écran, pour montrer l’image par une fonction de valeurs de x ou d’un intervalle, pour montrer les limites d’une fonction, pour montrer la continuité ou la discontinuité en un point, pour hachurer une partie du plan, etc. (voir clics de la souris et coordonnées)

Dans la suite, les chemins d’accès aux différents programmes seront indiqués au départ des onglets :

Premier niveau, Deuxième niveau, Troisième niveau (1), Troisième niveau (2) et Compléments.

Sommaire

Fiche n°1 : Exercices d’entraînement.

(Utilisation de Premier niveau/un des 7 programmes)

Trop d’élèves éprouvent de sérieuses difficultés pour le calcul mental, le calcul d’expressions algébriques simples, les règles de priorités des opérations. Un des remèdes possibles réside sans doute dans la répétition des exercices d’entraînement.

Le professeur présente les programmes en classe et convie les élèves à choisir au local d’informatique selon leurs besoins spécifiques ceux qui leur permettront de mieux dominer le calcul des PGCD, PPCM, des entiers, des rationnels, des réels, ou de mieux maîtriser la résolution d’équations simples.

Ces séances pourraient être organisées aussi lors de rattrapages, ou même à domicile si l’élève dispose du matériel nécessaire.

Certains exercices ne sont pas prévus pour être résolus mentalement, mais nécessitent une recherche écrite.

Lorsque le résultat attendu est un réel non obligatoirement entier, l’élève peut répondre de deux manières différentes : soit en tapant directement la réponse, soit en formant au clavier l'expression de la réponse. Dans R, par exemple :

L’aspect ludique peut favoriser une meilleure maîtrise du calcul numérique, chacun pouvant travailler à son rythme et sans contraintes extérieures. Les jeux Compléments/Le nombre mystérieux ou Compléments/Le compte est bon constituent un autre remède possible et moins austère.

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Fiche n°2 : Valeurs numériques d’une fonction.

(Utilisation de Deuxième niveau/Valeurs numériques)

L’objectif est de familiariser l’élève au calcul des valeurs numériques d’une fonction, d’en découvrir son domaine de définition et d’esquisser déjà une première représentation graphique.

Soit f(x)=Ö x.

On calcule f pour différentes valeurs de x et on en profite pour faire trouver le domaine de définition.

Le cas échéant, on tentera de la représenter graphiquement point par point et on pourra toujours vérifier ultérieurement son graphique dans Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe d’une fonction.

Si la fonction est constante et ne dépend pas explicitement de la variable x, on se contentera de faire varier x fictivement par exemple de 0 à 1 par pas de 2 pour limiter l’affichage à une seule ligne.

Le professeur propose ensuite aux élèves d’explorer au local d’autres fonctions simples.

Exercices au local : Explorer les fonctions suivantes :

  1. f(x)=x+1
  2. f(x)=2x-1
  3. f(x)=x²
  4. f(x)=1/x
  5. f(x)=|x|
  6. f(x)=(x-1)/(x+2)

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Fiche n°3 : Valeurs numériques de deux fonctions.

(Utilisation de Deuxième niveau/Valeurs numériques)

L’objectif est de calculer les valeurs numériques de deux fonctions f et g pour éventuellement les comparer.
Dans certains cas, ces fonctions pourront être déclarées, avec prudence, identiques. On dispose ainsi d’un moyen de vérifier des identités remarquables, des formules trigonométriques…
Dans d’autres cas, on pourra trouver et distinguer des domaines de définition, découvrir une propriété (parité, périodicité, …), etc.

Ensuite, dans Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphes de n fonctions (n£ 9) on pourra encoder ces deux fonctions et vérifier graphiquement les conclusions obtenues.

Le professeur présente l’un ou l’autre exemple en classe comme f(x)=(x²-4)/(x+2) et g(x)=x-2, et invite ensuite les élèves à réfléchir au local à d’autres situations.

Exercices au local : Comparer les valeurs numériques de f(x) et g(x) et conclure, sachant que f(x) et g(x) sont respectivement :

  1. 2-3*(4-1) et 2-3*4-1
  2. -3² et (-3)²
  3. (-2)³ et –(-2)³
  4. (x+1)² et x²+2x+1
  5. (x-2)(x+2) et x²-4
  6. x³-27 et (x-3)(x²+3x+9)
  7. (x²-1) / (x-1) et x+1
  8. 2x²-5x-3 et (2x+1)(x-3)
  9. 2x²+2x-4 et (x-1)(x+2)
  10. Ö (x²) et x
  11. Ö (x²) et |x|
  12. Ö (x²) et (Ö (x))²
  13. Ö (x²+2x+1) et |x+1|
  14. Ö (x4) et x2
  15. Ö ((x-1) / (x+2)) et Ö (x-1) / Ö (x+2)
  16. Ö ((1-x) / (x+2)) et Ö (1-x) / Ö (x+2)

  17.  et si l’élève a les connaissances requises :

  18. sin(p -x) et sin(x)
  19. sin(180-x) et sin(x)
  20. 2cos²(x) et 1+cos(2x)
  21. sin(x+1) et sin(x)cos(1)+sin(1)cos(x)
  22. log(5x) et log(5)+log(x)
  23. ln(x²) et 2 ln(x)
  24. ln(exp(x)) et exp(ln(x))
  25. arcsin(sin(x)) et sin(arcsin(x))

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Fiche n°4 : Fonction, équation, inéquation du premier degré.

(Utilisation de Deuxième niveau/Le premier degré/Etude de f(x)=ax+b)

L’objectif est de voir f(x)=ax+b et de comprendre le signe de f(x), l’équation et les inéquations associées.
Grâce à la présentation sur un même écran du graphe et de la solution, l’élève devrait mieux saisir les rapports entre ceux-ci.
Ainsi le graphe de f(x)=2x-3 permettra de résoudre l’équation 2x-3=0, l’inéquation 2x-3³ 0, etc.
On n’oubliera pas de choisir Format/Notations fractionnaires si nécessaire.

Exercices au local : Résoudre et interpréter graphiquement :

  1. x+1/2>0
  2. 3x-1<0
  3. 2-x>0
  4. 3+2x³ 0
  5. 5-3x¹ 0
  6. 0x=3
  7. 0x³ -1

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Fiche n°5 : Inéquation du premier degré avec paramètre.

(Utilisation de Deuxième niveau/Le premier degré/Etude de f(x)=a(t)x+b(t) )

On a résolu en classe l’inéquation : t(x+4)-2t-1<0 et on désire vérifier graphiquement la solution trouvée :

t<0 Þ S=](1-2t)/t ; à [
t=0 Þ S=R
t>0 Þ S=]ß  ; (1-2t)/t[

Soit f(x) = t(x+4)-2t-1, l’inéquation devient donc f(x)<0.

Choisissons quelques valeurs particulières de t.

t=-1 Þ f(x)=-x-3 et S=]-3 ; à
t=1 Þ f(x)=x+1 et S=]ß  ; -1[ 
etc.

Ainsi pour chaque valeur de t variant de –5 à 5 par pas de 1 par exemple, on affiche la droite et la solution correspondante et on comprendra mieux l’histoire de l’inéquation résumée par les trois lignes de la solution.

Exercices au local :

  1. Représenter graphiquement et interpréter f(x) = tx-2t+1. Trouver t pour que f comprenne le point (4,0)
  2. Trouver le nombre et le signe des racines de l'équation (t²-9)x+t-4 = 0, et comparer les racines aux nombres 1 et -1.Interpréter graphiquement les résultats.
  3. Représenter graphiquement et interpréter :
  1. tx>2x+3
  2. 2x(t+2)<8-t²
  3. 3x-tx£ t²-9

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Fiche n°6 : Fonction, équation, inéquation du second degré.

(Utilisation de Deuxième niveau/Le second degré/Etude de f(x)=ax²+bx+c)

L’objectif est de voir f(x)=ax²+bx+c, de comprendre le signe de f(x), l’équation et les inéquations associées, et de rappeler chaque fois les formules de somme et produit des racines, si ces racines existent

Encore une fois, la présentation sur un même écran du graphe et de la solution devrait conduire l’élève à mieux saisir les liens entre ceux-ci.

Ainsi le graphe de f(x)=x²+2x-3 permettra de résoudre l’équation x²+2x-3=0, l’inéquation x²+2x-3³ 0, etc.

Exercices au local :

  1. Représenter graphiquement f(x)=0.5x²-0.5x-3, afficher les valeurs numériques.
  2. Résoudre 0.5x²-0.5x-3=0, résoudre 0.5x²-0.5x-3³ 0 et interpréter graphiquement.

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Fiche n°7 : Equation du second degré avec paramètre.

(Utilisation de Deuxième niveau/Le second degré/Etude de f(x)=a(t)x²+b(t)x+c(t))
On a fait en classe l’étude du nombre et du signe des racines le l’équation :
(t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0 quand t varie de moins l’infini à plus l’infini,
et on désire vérifier graphiquement la solution trouvée :

t<-4 Þ S=Æ
t=-4 Þ S={1}
-4<t<-3 Þ S={x’ ; x’’} avec 0<x’<x’’
t=-3 Þ S={1/2} (équation du premier degré)
-3<t<3 Þ S={x’ ; x’’} avec x’<0<x’’ et x’<S/2
t=3 Þ S=R
3<t Þ S={x’ ; x’’} avec x’<0<x’’ et x’<S/2

Soit f(x) = (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0. L’équation devient f(x)=0.

Choisissons quelques valeurs particulières de t.

Pour chaque valeur de t variant de –5 à 5 par pas de 1 par exemple, on affiche la parabole (ou la droite) et la solution correspondante. Avec l’aide du professeur les élèves pourront dégager les rapports entre graphiques et solution et vérifier que les racines obtenues sont bien celles prévues par la solution indiquée ci-dessus..

Mais on peut aller plus loin et répondre à des questions telles que : Trouver t pour que les racines de l’équation (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3=0 soient positives, et/ou comprises entre –1 et 1, et/ou ….

Si nécessaire on affichera alors les verticales º x=0, x=-1, x=1, …

De la même manière, on peut résoudre et interpréter les inéquations (t²-9)x²+2(t-3)x-t+3<0, (£ 0, >0, ³ 0, ¹ 0), comme dans la fiche 5.

Exercices au local :

  1. Représenter graphiquement et interpréter f(x)=x²+2(2-t)x+t ensuite f(x)=(t+2)x²-tx+t+1.
  2. Etudier le nombre et le signe des racines de l'équation tx²+2(t+2)x+2t+7=0, lorsque t varie de moins l'infini à plus l'infini.
  3. Trouver le nombre et le signe des racines de l'équation (t-2)x²-4tx+2t-6=0, t étant un paramètre réel, et comparer les racines aux nombres -1 et 1. Interpréter graphiquement les résultats.

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Fiche n°8 : Inéquation avec paramètre.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Fonction à paramètre/Une ou deux fonctions avec paramètre m réel)

Les fiches 5 et 7 concernaient des équations ou inéquations du premier ou du deuxième degré. Comment interpréter une équation ou une inéquation quelconque avec un paramètre ?

Soit à résoudre l’inéquation : (m+1)/(m-2)+x/(x+1)<1.

Après avoir fait l’effort de résoudre cette inéquation en classe, on ne renonce pas à l’idée de vérifier la solution trouvée :

m<-1 Þ S=]-1 ;-3/(m+1)[
m=-1 Þ S=]-1 ; à [
-1<m<2 Þ S=]ß  ; -3/(m+1)[ È ]-1 ; à [
m=2 est à rejeter
2<m Þ S=]-1 ;-3/(m+1)[

Soit f(x) = (m+1)/(m-2)+x/(x+1)-1. L’inéquation devient donc f(x)<0.
Choisissons judicieusement quelques valeurs particulières de m :
Pour m=-2, on représente f et on observe que f est strictement négative pour –1<x<3 comme prévu.

Semblablement, pour m=-1 on trouve bien x>-1, pour m=0 on a x<-3 ou x>-1 et pour m=3 on a bien –1<x<-3/4.
Cette méthode s’applique évidemment aux équations et inéquations des fiches 5 et 7.

Exercices au local : Résoudre et interpréter graphiquement :

  1. m(m-1)x£ (m-1)/(m+2)
  2. x(m²-6)>(m³+m²-6m)/(m²-9)-mx

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Fiche n°9 : Etude de la droite.

(Utilisation de Deuxième niveau/Le premier degré/Droite d º ax+by+c=0)

Ce programme permet essentiellement à l’élève de vérifier ou de corriger un travail personnel. Il lui offre aussi la possibilité de modifier les données, d’en soupçonner l’impact sur le résultat et de vérifier ensuite à l’écran ses prévisions.

Cette interactivité conduit l’élève motivé à une meilleure maîtrise de son cours et il pourra affronter avec plus de confiance des exercices plus généraux comme le suivant :

Rechercher les équations des côtés, des hauteurs, des médianes et des bissectrices d’un triangle quelconque et vérifier que l’orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle sont alignés (droite d’Euler), ou confondus.

Dans ce cas, le programme Deuxième niveau/Eléments d’un triangle lui permettra de vérifier l’entièreté de sa solution, et en jonglant avec ces éléments, il finira par ne plus confondre médiane, médiatrice, bissectrice, …

Exercices au local :

  1. Représenter la droite comprenant les points A(-2 ; 1) et B(2 ; 3).
  2. Représenter les droites d1 º 2x+3y-6=0 ; d2 º 2x-3y=0. Trouver ensuite leur intersection.
  3. S’inspirer du signe de ax+by+c pour résoudre des inéquations d'un des types : ax+by+c>0, ( ³ 0, < 0, £ 0, ¹ 0).
  4. Choisir les coordonnées des sommets d’un triangle. Calculer les équations des côtés, médianes, médiatrices, hauteurs et de la droite d’Euler.

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Fiche n°10 : Etude de la parabole.

(Utilisation de Deuxième niveau/Le second degré/Parabole Pº ax²+bx+c)

Ce programme permet surtout à l’élève de vérifier ou de corriger un travail personnel. Il lui offre aussi la possibilité de modifier les données, d’en soupçonner l’impact sur le résultat et de vérifier ensuite à l’écran ses prévisions.

Exercices au local :

  1. Trouver l’équation de la parabole comprenant les points (-3,-2), (1,4) et (3,-1).
  2. Trouver les points d’intersection des paraboles y=x²-2x+3 et y=-x²+3x+4.
  3. S’inspirer du signe de y-ax²-bx-c pour résoudre des inéquations d'un des types : y-ax²-bx-c>0, (³ 0, <0, £ 0, ¹ 0).
  4. Rechercher l’équation de la tangente à la parabole comprenant les points A, B et C, et parallèle à la droite AC, après avoir choisi les coordonnées des trois points..

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Fiche n°11 : Les polynômes et la règle de Horner.

(Utilisation de Deuxième niveau/Les polynômes/Règle de Horner dans R)

L’objectif est de familiariser les élèves à cette règle incontournable. Ce sera aussi l’occasion de faire découvrir les quotients remarquables.

Factoriser le plus possible polynôme A(x)= x4-3x3-21x2+43x+60

On trouvera les diviseurs de 60, on vérifiera que A(-1)=0 et on divisera le polynôme par x+1. A l’aide du bouton A ß C, on placera le quotient C dans le dividende A et on factorisera A de la même manière.

Exercices au local :

1) Déterminer le quotient et le reste de la division de

  1. x³-5x²+11x-6 par x-2
  2. 4x³+4x²-5x-3 par x+1
  3. x³-7x+6 par x-1
  4. x4-7x2+x-6 par x+3
  5. x5-1 par x-1
  6. x5-1 par x+1
  7. x5+1 par x-1
  8. x5+1 par x+1
  9. x6-1 par x-1
  10. x6-1 par x+1
  11. x6+1 par x-1
  12. x6+1 par x+1

2) Factoriser le plus possible :

  1. -4x³+5x²+7x-2
  2. 6x4-7x3-31x2+42x

3) Résoudre

  1. 6x4+13x3-13x-6=0
  2. 3x4-10x3+10x-3>0
  3. x4+2x3-16x2-2x+15£ 0
  4. x4-7x3+17x2-17x+6¹ 0

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Fiche n°12 : Lieu géométrique engendré par deux droites.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à 2 inconnues à paramètre)

Dans le temps, on imaginait un dessin animé montrant les génératrices et leur point d’intersection pour chaque valeur successive du paramètre, mais bien sûr personne ne songeait à réaliser un tel film.

Puisque maintenant l’ordinateur nous en offre la possibilité, pourquoi s’en priver, surtout s’il permet de se faire mieux comprendre.

Soit le problème : On considère le triangle OAB. O(0 ; 0), A(1 ; 0) et B(0 ; 1). Une droite mobile d parallèle à OA coupe OB en C et AB en D. Trouver le lieu géométrique de l’intersection P de OD et AC.

Soit C(0,t). On trouve OD º tx+(t-1)y=0 et AC º tx+y-t=0. En éliminant t on obtient le lieu brut L º y(2x+y-1)=0 formé du lieu singulier º y=0 et du lieu proprement dit º 2x+y-1=0 qui est la médiane de OA.

Dans Troisième niveau (1)/Systèmes d’équations/Systèmes de n équations à 2 inconnues à paramètre, on encode les deux équations tx+(t-1)y=0 et tx+y=t, on fait varier t entre 0 et 1 par pas de 0.1 et en cliquant sur Solution, on représente les génératrices et leur point d’intersection. Dans Options, on peut se limiter aux seuls points d’intersection, et dans Repère on choira le meilleur système d’axes..

Exercices au local :

  1. Représenter le film de y=tx et y=x+t pour t variant de 10 à 10 par pas de 0.1. En éliminant t trouver le lieu des points d’intersection et vérifier dans Troisième niveau (1)/Conique.
  2. On considère le triangle OAB. O(0,0), A(2,0), B(0,1). Une droite mobile d comprenant le milieu M de OA coupe OB en C et AB en D. Trouver le lieu géométrique de l'intersection P de OD et AC.
    Soit C(0,t). On vérifie que OD º - tx+(-2t+2) y=0 et AC º tx+2y-2t=0.
  3. Montrer que le lieu géométrique des points d’intersection des tangentes au cercle
  4. x²+y²-1=0 aux points de coordonnée (cost ; sint) et (cos(t+p /2) ; sin(t+p /2)) est le cercle x²+y²-2=0.

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Fiche n°13 : Lieu géométrique engendré par deux courbes.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Fonction à paramètre/Une ou deux fonctions avec paramètre m réel)

Un lieu géométrique n’est pas nécessairement engendré par deux droites, comme dans la fiche précédente. Il peut l’être plus généralement par deux courbes représentant les fonctions f et g, comme dans l’exemple suivant.

Trouver le lieu géométrique des points de contact des tangentes comprenant le point (0 ; -1) aux paraboles d’équation y = mx².

On vérifie que les tangentes à y=mx² issues de (0 ; -1) ont pour équation y=± 2xÖ m-1.
Ici les génératrices du lieu sont f(x)=mx² et g(x)=± 2xÖ m-1 et une au moins n’est pas une droite.
En éliminant m on trouve le lieu brut L º y = 1, le lieu proprement dit étant L \ {(0 ; 1)}.
Remarquons que ce lieu aurait été découvert plus rapidement par des considérations géométriques élémentaires.

Après avoir encodé f(x)=x² et g(x)= 2xÖ m-1, on en représente le graphe pour des valeurs non nulles de m, on peut marquer d’un cercle plein les points de contact des tangentes et d’un cercle vide le point (0,1) et représenter la droite º y=1. En encodant g(x)= -2xÖ m-1, on obtiendra les autres points du lieu.

L’inconvénient de ce programme, plus général, est qu’il ne marque pas automatiquement les points d’intersection des génératrices.

Exercice au local :

Encoder f(x)=m/x et g(x)=x+m , représenter chacune de ces fonctions pour m variant de –5 à 5 par pas de 1 et marquer d’un cercle plein les points d’intersection des paires de génératrices

Montrer ainsi que le lieu brut des points d’intersection est Lº xy+x-y=0 (à vérifier dans Troisième niveau (1)/Coniques/Graphe et éléments ).

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Fiche n°14 : Eléments d’une conique.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Coniques/Graphe et éléments)

Représenter la conique C º 13x²+10xy+13y²+42x-6y-27=0. Déterminer tous ses éléments, et trouver les équations des tangentes comprenant le point (1,3).

Ce programme sera surtout utile au professeur qui veut sélectionner rapidement des exercices pour préparer ses cours ou des questions.
L’élève pourra aussi l’exploiter avec bonheur pour vérifier un devoir ou des recherches personnelles.

Exercices au local : Représenter graphiquement les coniques : (Voir aussi "Graphe d'une conique")

  1. Cº x²+6xy+9y²-3x+y+2=0
  2. Cº -6xy-8y²+2x+10y+3=0
  3. Cº 25x²-10xy+y²-20x+4y+3=0

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Fiche n°15 : Lieu des centres d’un faisceau de coniques.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Conique/Faisceaux de coniques)

Montrer que le lieu géométrique des centres du faisceau de coniques engendré par C1 et C2 est la droite d º x+y=0, sachant que C1 º x²+y²-2x+2y-3=0 et C2 º xy=0.

Soit le faisceau C º C1 + t C2 = 0. En classe, on a montré que le lieu brut est L º (x+y)(x-y-1)=0. Il est formé du lieu proprement dit L1 º x+y=0 et du lieu parasite L2 º x-y-1=0.

On a également trouvé l’histoire du faisceau résumée par :

t<-2 Þ C est une hyperbole propre
t=-2 Þ C est une parabole dégénérée
-2<t<2 Þ C est une ellipse propre
t=2 Þ C est une parabole propre
2<t Þ C est une hyperbole propre

Tous ces résultats apparaîtront à l’écran en quelques clics de souris, et permettront à l’élève de mieux imaginer le mouvement des coniques du faisceau et des centres.

Dans Affichage on peut se limiter à la représentation des seuls centres si on le désire.

Exercice au local : (Voir aussi "Faisceaux de coniques")

Trouver le lieu géométrique des centres de Cº 2x²+10xy+4y²+2tx+(t+1)y=0 et vérifier graphiquement.

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