Fiche n°16 : Graphe de fonctions élémentaires.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe d’une fonction)

On représente des fonctions simples comme f(x)=x, f(x)=|x|, f(x)=x², f(x)= Ö (x), f(x)=(x)1/3, f(x)=1/x, f(x)=ent(x), f(x)=x-ent(x), f(x)=sin(x) ; f(x)=cos(x), …

Pour éviter les traits parasites (pour f(x)=ent(x) par exemple) on choisit dans Repère le tracé Par points.

Si nécessaire, on complétera le graphique obtenu par des cercles pleins ou vides. Ainsi pour le graphe de f(x)=ent(x), on ajoutera des cercles pleins (a ; a) et des cercles vides (a ; a+1), a Î Z.

En faisant <Alt>+clic gauche, on verra l’image par f d’un point, et on pourrait déjà chercher l’image par f d’un segment, du domaine de définition, de valeurs de x de plus en plus grandes (petites) ou de plus en plus proches d’un réel donné, ceci en vue de l’étude ultérieure des limites.

Au local, les élèves s’exerceront à introduire d’autres fonctions et se rendront compte de l’exigence du choix d’un repère adapté lorsque rien n’apparaîtra à l’écran !

Par un choix convenable du repère ils tenteront de trouver le domaine de définition, les propriétés particulières, et si possible les racines, les coordonnées des extremums avec une précision convenable.

Exercices au local : Représenter graphiquement et étudier les fonctions suivantes :

  1. f(x)=(x-3)²
  2. f(x)=1/(x²+1)
  3. f(x)=Ö
  4. f(x)=x-E(x)
  5. f(x)=sin(2x)

Sommaire

Fiche n°17 : Les fonctions déduites de f.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Fonctions déduites de f)

Voici une agréable manière de se familiariser avec les fonctions déduites d’une fonction donnée.

On représente f(x), et on devine f(x-2). Avant de cliquer sur f(x+c), on marque quelques points de f(x-2) et on vérifie ensuite. On découvrira ainsi le rôle des différents coefficients, les points invariants de |f(x)|, de 1/f(x), …, on devinera une première fois l’existence d’asymptotes, etc.

On en tire les conclusions (déplacements latéraux, verticaux, parité, périodicité, etc.).

Exercices au local : (Voir aussi "Fonctions déduites de f")

  1. Soit f(x)=x, représenter f(x-1), f(x)-2, f(x-1)-2, 1/f(x), |f(x)|, Ö (f(x)),(f(x))1/3, etc.
  2. Soit f(x)=x², représenter f(x-1), f(x)-2, f(x-1)-2, 2 f(x), |f(x)|, etc.
  3. Soit f(x)=sin(x), représenter f(-x), f(2x), f(x/2), f(x-p /6), etc.
  4. Soit f(x)=(1+1/x)x, représenter f(1/x).
  5. Soit f(x)=cos(x), représenter f(f(x)), f(f(f(x))), etc., ce qui en fait revient à enfoncer plusieurs fois de suite la touche <cos> sur une calculette.

Sommaire

Fiche n°18 : Les fonctions déduites de f et de g.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Fonctions déduites de f et de g)

Soit le graphe de f(x)=x, et de g(x)=sin(x), on représente ensuite f(x)+g(x), f(x)*g(x), f(x)/g(x), f(g(x)), g(f(x)), etc.
Avant d’afficher la fonction déduite, il est instructif de prévoir et marquer quelques points sûrs.
On tire ensuite les conclusions (points particuliers, asymptotes, racines, commutativité ou non, etc.)

Exercices au local : Explorer les fonctions suivantes : (Voir aussi "Fonctions déduites de f et de g")

  1. Soit f(x)=(x²-9/4) ; g(x)=(x-3/2), découvrir f(x)/g(x)
  2. Soit f(x)=(x²-1) ; g(x)=(x-2) ), découvrir f(x)/g(x)
  3. Soit f(x)=sin²(x) ; g(x)=cos²(x), découvrir f(x)+g(x)
  4. Soit f(x)=arcsin(x) ; g(x)=arccos(x), découvrir f(x)+g(x)
  5. Soit f(x)=arcsin(x) ; g(x)=sin(x), comparer f(g(x)) et g(f(x)).

Sommaire

Fiche n°19 : Les limites, approche numérique.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en l’infini et en un point)

f(3/2) n’existe pas, mais on peut calculer f(x) pour des valeurs de x proches de 3/2.

Dans Deuxième niveau/Valeurs numériques, on cherche les valeurs de f(x)

pour x variant de 1 à 2 par pas de 0.1 ;
puis pour x variant de 1.45 à 1.55 par pas de 0.01 ;
puis pour x variant de 1.495 à 1.505 par pas de 0.001 ;
etc.

On observe que pour des valeurs de x proches de 3/2, celles de f(x) sont proches de 3.

On a donc :

f(2) n’existe pas, mais on peut calculer f(x) pour des valeurs de x proches de 2.

Dans Deuxième niveau/Valeurs numériques, on cherche les valeurs de f(x)

pour x variant de 1.5 à 2.5 par pas de 0.1 ;
puis pour x variant de 1.95 à 2.05 par pas de 0.01 ;
puis pour x variant de 1.995 à 2.005 par pas de 0.001 ;
etc.

On observe que pour des valeurs de x proches de 2 et plus petites que 2, celles de f(x) tendent vers moins l’infini, et que pour des valeurs de x proches de 2 et plus grandes que 2, celles de f(x) tendent vers plus l’infini.

On a donc : et

Exercices au local : Estimer la limite de :

Sommaire

Fiche n°20 : Les limites, approche numérique et graphique

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en l’infini et en un point)

On sait que (Fiche 19) 

Dans Les fonctions/Limites d’une fonction, on illustre graphiquement ce résultat.

En outre on peut chercher la limite de f(x) quand x tend vers plus l’infini, puis vers moins l’infini.

Le graphe de f semble être celui de la fonction xà x+3/2, cependant f(3/2) n’existe pas.

L’ordinateur ne fait pas tout, mais l’utilisateur peut placer un cercle vide de coordonnée (3/2 ; 3) (<Shift>+clic gauche).

On peut encore se convaincre que si x tend vers 3/2 alors f(x) tend vers 3, en représentant les images de x quand x tend vers 3/2 (<Ctrl>+clic gauche).

De la même manière on observe numériquement et graphiquement que la limite de f(x) quand x tend vers plus l’infini est plus l’infini et que la limite de f(x) quand x tend vers moins l’infini est moins l’infini.

Comme précédemment, on interprète avec a=2, +¥ et -¥ .

Exercices au local :

Calculer et interpréter graphiquement les limites des fonctions de la fiche 19 en y ajoutant chaque fois la limite en +¥ et la limite en -¥ .

Sommaire

Fiche n°21 : Les asymptotes.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en l’infini et en un point)

L’élève a déjà la notion de la limite d’une fonction en l’infini et en un point qui n’appartient pas nécessairement à son domaine de définition. (Fiche 20). Il a déjà intuitivement la notion d’asymptote horizontale et d’asymptote verticale au travers des graphes de f(x)=1/(x-2), f(x)=x/(x-2), f(x)=x²/(x-2), …(Fiches 16 et 17).

Il est dès lors intéressant de les représenter de suite avant même d’être capable de dessiner complètement la fonction après en avoir étudié les dérivées première et deuxième.

Dans Les fonctions/Limites d’une fonction, on cherche la limite de f(x) en 2, en –2, en l’infini.
On obtient deux asymptotes verticales x=2 et x=-2 et une horizontale y=1 et on représentera ces trois droites.

On cherche la limite de f(x) en 2 et en l’infini, on trouve une asymptote verticale x=2 et on ne trouve pas d’asymptote horizontale.

La limite de f(x)/x quand x tend vers l’infini est 1 et celle de f(x)-1x quand x tend vers l’infini est 2. On trouve donc une asymptote oblique y=x+2 et on représentera ces deux droites.

Exercices au local : Trouver et représenter toutes les asymptotes au graphe des fonctions f suivantes si :

  1. f(x) = (4x-1)/(x²-4x)
  2. f(x) = (2x²-3x)/(x²-10x+9)
  3. f(x) = (2x³+x²-1)/(x³+3x²-4x-12)
  4. f(x) = (-4x²-3x+1)/(8x-2)
  5. f(x) = Ö (x²+3x+2)
  6. f(x) = Ö (x²+2x)-x
  7. f(x) = 5x+3Ö (x²+1)
  8. f(x) = 1-3x+Ö (x²+x-2)
  9. f(x) = Ö (x²+2x)- Ö (x²+x)
  10. f(x) = (x³-8x)1/3-x
  11. f(x) = (x³-x²)1/3-(8x³+x)1/3

Sommaire

Fiche n°22 : Les nombres dérivés.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Limites en l’infini et en un point)

L’objectif est de montrer que la pente de la tangente en a au graphe d’une fonction f est la limite de la pente de la sécante comprenant les points (a ; f(a)) et (x ; f(x)) lorsque ce deuxième point se rapproche du premier, c’est à dire la limite de (f(x)-f(a))/(x-a) quand x tend vers a.

Dans Les fonctions/Limites d’une fonction, on calcule

En cliquant sur le bouton (f(x)-f(a))/(x-a) avec a=3/2 on peut penser que cette limite vaut 3.

Le nombre dérivé de f en 3/2 est égal à 3, ou f’(3/2)=3, ou la pente de la tangente au point (3/2 ; 3) au graphe de f est donc 3.

Cette tangente a pour équation y-9/4=3(x-3/2) ou 12x-4y-9=0.

On représente cette droite et on vérifie qu’elle est effectivement tangente.

De la même manière, l’élève peut calculer f’(0), f’(0.5), f’(1), f’(2), … et représenter la tangente correspondante.

Semblablement, on calcule f’(-1), f’(1), f’(2), … et on représente la tangente correspondante.

Au point 0, on est amené à distinguer un nombre dérivé à gauche f’(0-) et un nombre dérivé à droite f’(0+) et donc à construire une tangente à gauche et une tangente à droite au point 0.

Exercices au local :

  1. Si f(x) = cos(x), calculer f’(0), f’(p /6), f’(p /4), f’(p /3), f’(p /2), … et représenter la tangente correspondante.
  2. Si f(x) = (x²-|x|) / (x²+x+1) calculer f’(-1), f’(1), f’(2), … et représenter la tangente correspondante. Que se passe-t-il au point 0 ?
  3. Trouver f’(0-) et f’(0+) si f(x)=|x| et interpréter le résultat.
  4. Trouver f’(2-) et f’(2+) si f(x)=x-ent(x) et interpréter le résultat.

Sommaire

Fiche n°23 : Fonction dérivée première.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe d’une fonction)

L’élève a compris la signification du nombre dérivé en un point et a assez d’informations pour construire la fonction dérivée première f’. (Fiche 22).

On représente graphiquement une fonction, par exemple : f(x)=(3x4-20x3+36x²-12)/12.
On représente la tangente en 1, en choisissant a=1 et en cliquant ensuite sur Tangente.
L’équation de la tangente apparaît, on détermine mentalement sa pente c’est à dire f'(1).
En cliquant sur Pente, on vérifie la valeur de la pente trouvée et le segment d’extrémités
(1 ; f(1)) et (1 ; f’(1)) est automatiquement représenté. Le point (1 ; f’(1)) appartient au graphe de f’.

On recommence en d’autres points et on obtient une suite de points du graphe de la fonction dérivée f’.
On peut obtenir plus rapidement de tels points en cliquant sur le bouton f à f’.

Le graphe de f’ apparaîtra enfin en cliquant sur f’(x) et on vérifie qu’il comprend bien les points déjà trouvés.
Ce sera le moment de découvrir les messages de la dérivée première (croissance, décroissance, extremums…)

Exercices au local :

  1. Représenter une fonction, marquer quelques points caractéristiques de la dérivée première. Vérifier ensuite en cliquant sur f’(x).
  2. Inversement, encoder ou sélectionner une fonction, sans la représenter graphiquement, mais représenter graphiquement sa dérivée première. A partir de celle-ci, marquer des points possibles de la fonction. Vérifier ensuite en cliquant sur f(x). Nombre de solutions ?

Sommaire

Fiche n°24 : Fonction dérivée seconde.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe d’une fonction)

L’élève sait deviner f’ à partir de f et inversement (cf. Fiche 23).
Le professeur pourra l’aider à trouver f’’ à partir de f’ et à découvrir le message de f’’.

On reprend par exemple le graphe de f(x)=(3x4-20x³+36x²-12)/12.
On représente f’, on devine f’’ puis on la représente.
On vérifiera le message de la dérivée seconde (concavité).

Les professeurs qui aiment faire trouver une fonction f dont on ne connaît que f’’ apprécieront l’apport de l’informatique et songeront peut-être même à trouver une intégrale indéfinie de f !

Le programme permet d’ailleurs de représenter l’intégrale de a à x de f(x) dx pour un a choisi, et on en profitera pour montrer qu’il y a autant de solutions que de valeurs de a.

Sommaire

Fiche n°25 : Approximations des racines.

L’ordinateur va permettre des représentations graphiques précises qu’il serait trop long et

fastidieux de faire à la main, et qui illustreront on ne peut mieux la méthode d’approximation choisie.

Remarquons que si le membre de gauche de l’équation f(x)=0 est un polynôme de degré £ 4, il est plus simple de le factoriser (Utilisation de Deuxième niveau/Les polynômes/Polynômes dans C (degré £ 4)), mais il restera de toute façon instructif d’employer une méthode d’approximation et de vérifier la solution obtenue.

A) (Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Approximation des racines)

L’intérêt essentiel sera de comparer les différentes méthodes, de voir les pièges à éviter et les limites de chaque méthode.

Exercices au local sous la conduite du professeur : (cf. aussi pages 32 et 33)

Résoudre les équations suivantes et comparer les performances des méthodes utilisées.

  1. x³+2x²+10x-20=0
  2. x³-2x+2=0
  3. x-exp(-x/2)=0
  4. exp(-x²)-x-0.01=0
  5. x-0.5sinx-1=0
  6. sin x+cos 2x=0
  7. tg x=x

B) (Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Point fixe)

L’intérêt essentiel sera de découvrir les conditions de convergence et les différentes vitesses de convergence selon le choix de g(x) dans la transformation de f(x)=0 en g(x)=x.

Exercices au local sous la conduite du professeur : (cf. aussi page 33)

  1. On enfonce successivement la touche cos x de sa calculette et au bout d’un certain temps l’affichage se stabilise sur 0.739085…. Pourquoi ?
  2. Soit x0 l’affichage initial. Par exemple x0=0.

    On affiche donc successivement 1 ; 0.540302… ; 0.857773… ; 0.654289… ; 0.793480…, …

    c’est à dire cos x0, cos(cos x0), cos(cos(cos x0)), … et on observe que cette suite converge vers s=0.739085….

    Plus généralement, si g(x)=cos(x), on affiche successivement g(x0), g(g(x0)), g(g(g(x0))), … ou encore s1, s2, s3, … avec s1=g(x0), s2=g(g(x0))=g(s1), s3=g(g(g(x0)))=g(g(s1))=g(s2), … ou plus simplement s1=g(x0), s2=g(s1), s3=g(s2), … , sn+1=g(sn), … .

    En reportant ces résultats sur un graphique, on découvre que la suite (sn) converge vers la racine s de l’équation cos x=x.

    Ainsi donc, 0.739085… est racine de cos x=x et on a trouvé x0 tel que la suite cos x0, cos(cos x0), cos(cos(cos x0)), … converge vers 0.739085… .

    Plus généralement : Si s est racine de l’équation g(x)=x, il arrive qu’on trouve x0 tel que la suite s1, s2, s3, … où s1=g(x0) et sn+1=g(sn) converge vers s. Le point (s ; g(s)) est le point fixe.

    On peut encore se poser la question de savoir quels sont les x0 pour lesquels la suite s1, s2, s3, … converge.

    Il suffit pour cela de représenter le graphe de g(g(…x)) (m fois) pour un m assez grand. L’ensemble des valeurs de x pour lesquels g(g(…x)) se stabilise sur s constitue l’ensemble des x0 possibles.

    Si g(x)=cos x, en cliquant sur g(g(…x)) (m fois) avec m=10, on devine que l’ensemble des x0 est R .

  3. Résoudre x³+2x-2=0.
  4. Soit f(x)=x³+2x-2.
    On songera tout d’abord à factoriser f(x). (voir règle de Horner).
    Puisque le degré est £ 4 on peut utiliser Polynômes dans C (degré £ 4).
    On peut toujours essayer une des méthodes dans Approximation des racines.
    Enfin il est instructif d’utiliser la méthode du Point fixe.

    L’équation f(x)=0 doit donc être écrite sous la forme g(x)=x et cela peut être réalisé de plusieurs manières. S’il y a convergence, il sera intéressant de comparer la vitesse de convergence selon le choix de g(x).

    1. En écrivant x³+3x-2=x il y a divergence.
    2. En écrivant 1-x³/2=x la convergence est très lente.
    3. En écrivant 2/(x²+2)=x la convergence est plus rapide.
    4. En remarquant que l’équation f(x)=0 peut se mettre sous la forme x-f(x)/f’(x)=x, on choisit g(x)=x-f(x)/f’(x) et l’équation devient (2x³+2)/(3x²+2)=x. On démontre qu’alors la convergence est la plus rapide, et on le vérifie.

    Dans la suite, on privilégiera donc l’écriture x-f(x)/f’(x)=x.

  5. Calculer Ö 3.
  6. Tenant compte de la remarque précédente, en écrivant l’équation x²-3=0 sous la forme (x+3/x)/2=x on obtiendra une suite de réels qui converge vers Ö 3 le plus rapidement.

  7. Résoudre par la méthode du point fixe :
    1. 2-e-x=x.
    2. x-1-0.5*sin(x)=0
  8. Résoudre et interpréter 1/(2+x) = x.
  9. Les racines sont évidemment celles de x²+2x-1=0 c’est à dire –1+Ö 2 et –1-Ö 2.
    Ici c’est l’interprétation qui retient l’attention.

    Soit g(x)=1/(2+x) et x0=2.

    La suite s1, s2, s3, …devient 0.25 ; 0.444… ; 0.40909… et converge vers –1+Ö 2 = 0.41421356…

    Cela revient à dire que

    ou encore :

    Remarque :La fraction continue représentant Ö 2 est notée (1,2,2,2,…)

  10.  
    Justifier l’écriture
  11. On soupçonne cette expression de provenir de g(x)=Ö (2+x)
    En effet la solution de Ö (2+x)=x est 2 et pour x0=0 la suite engendrée s1, s2, s3, …est 1.41421… ; 1.84775… ; 1.96157… et converge bien vers 2

  12.  
    Semblablement, justifier l’écriture :
  13. Soit g(x)=0.6x. La solution de 0.6x=x est 0.699534 et pour x0=0 la suite engendrée s1, s2, s3, …est 1 ; 0.6 ; 0.736021… ; 0..686616 ; 0.704165… et converge bien vers 0.699534…

  14. On désire résoudre l’équation mx=x, m étant un paramètre Î R0+.
  15. L’ordinateur va se comporter ici comme outil de recherche, permettant peu à peu de cerner la question et d’avancer en confiance.

    1. Pour quelles valeurs de m l’équation a-t-elle au moins une racine, c’est à dire les graphes de mx et de x ont-ils au moins un point commun ? Il faut explorer mx pour différentes valeurs de m.
    2. Dans Troisième niveau (1)/Fonctions à paramètre/Une ou deux fonctions à paramètre m , on définit f(x)=mx et la droite º y=x. En faisant varier m de 0.1 à 2 par pas de 0.1 on observe qu’à partir de m=1.5 les deux courbes n’ont plus de point commun.

      Il existe donc mÎ ]1.4 ; 1.5[ tel que la droite est tangente à la courbe. Puisque la pente de cette tangente en x à la courbe vaut 1 on a (mx)’=1. Dès lors m et x sont solutions du système formé par les équations (mx)’=1 et mx=x. La solution est x=e et m=e1/e=1.444667…qui est bien Î ]1.4 ; 1.5[.

      Finalement l’équation mx=x aura au moins une solution ssi mÎ ]0 ; 1.444667…].

    3. Soit m=1.2, on résout 1.2x=x en encodant g(x)=1.2x et en cliquant sur g(x)=x, on trouve la solution 1.257734… à 10-6 près après 11 itérations, pour x0=0.
  16. On sait par le théorème des accroissements finis que si g est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ alors $ cÎ ]a,b[ tel que g’(c)=(g(b)-g(a)) / (b-a). Déterminer c si g(x)=(x+1)e-x, avec a=-1 et b=0.
  17. On devra donc résoudre l’équation -ce-c=1 ou -xe-x=1. Soit c solution de –ex=x obtenue par la méthode du point fixe. On trouve c=-0.56714…, et on pourra vérifier graphiquement dans Les fonctions/Graphe d’une fonction, que la tangente en –0.56714… à f(x)=(x+1)e-x est bien parallèle à la droite comprenant les points (-1,0) et (0,1).

  18. On sait par le théorème de la moyenne que si g est continue sur [a,b] alors $ cÎ ]a,b[ tel que
  19. Calculer c pour

    Résolvons donc l’équation e-0.5=c+ec, ou e-0.5=x+ex.

    En écrivant cette dernière sous la forme e-0.5-ex=x il y a divergence, mais sous la forme ln(e-0.5-x)=x, on trouve c=0.52604….

    On pourrait d’ailleurs vérifier le résultat en évaluant les deux membres de :

    avec f(x) = x+ex et c=0.52604…

    Sommaire