Fiche n°26 : Variation de fonction.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Les fonctions/Graphe d’une fonction)

Voilà l’exercice récompense des nombreux efforts consentis.

L’ordinateur peut n’être qu’un outil de contrôle d’une étude de fonction déjà réalisée.

Mais souvent, pour réaliser un tel travail l’élève est confronté à des calculs longs et pénibles, même si la fonction à étudier n’est pas trop compliquée à première vue, et il risque vite de se décourager. Des vérifications sont alors les bienvenues pour retrouver confiance et poursuivre ses investigations. L’ordinateur devient alors un outil de recherche.

Les deux exemples suivants vont mettre en évidence ces deux aspects de contrôle et de recherche.

  1. Représenter graphiquement f(x)=(2x²-x-3) / (-x²+x+6).
  2. L’élève est censé avoir résolu par écrit en classe ou à domicile l’exercice et veut simplement contrôler ses résultats à l’aide de l’ordinateur.

    Dans Les fonctions/Etude d’une fonction, on définit f et on la représente graphiquement. En parcourant les valeurs de f(x) l’élève vérifie que la fonction n’est pas définie en –2 et 3, qu’elle s’annule en –1 et 3/2 qu’elle admet les asymptotes x=-2, x=3 et y=-2, et un minimum (0.165… ; -0.506…).

  3. Représenter graphiquement f(x)=x1/x.

Déjà le calcul des asymptotes n’est pas évident. Dans Les fonctions/Limite en l’infini et en un point, on recherche la limite en plus l’infini de f(x). Cette limite vaut 1, il faudra donc trouver par calcul une asymptote horizontale à droite º y=1.

On recherche ensuite la limite à droite en 0. Pour l’ordinateur f n’est pas définie en 0.0005. Avec un peu d’esprit critique, on sait que la fonction est bien définie en 0.0005 et que l’ordinateur craint les dépassements de capacité. Par prudence donc il n’autorisera le calcul de la limite qu’à partir de 0.05 et l’utilisateur osera finalement conclure que f admet un " trou " de coordonnée (0 ; 0).

Si le traitement de la dérivée première est raisonnable, et permet un calcul aisé du maximum (e ; e1/e), celui de la dérivée seconde fait apparaître le facteur 1-2lnx+ln²x+2xlnx-3x dont on ne peut déterminer les racines que par approximations successives. Le graphe suggère bien l’existence de deux points d’inflexion dont l’abscisse de l’un pourrait être comprise entre 0 et 1 et celle de l’autre entre 3 et 6. Effectivement on les recherche dans Les fonctions /Approximations des racines, on trouve les racines 0.581… et 4.367… On pourra toujours vérifier dans Les fonctions/Etude d’une fonction que la tangente en chacun de ces points traverse bien la courbe.

Exercices au local : Explorer l’une ou l’autre des fonctions suivantes : (Voir aussi "Graphe d'une fonction")

  1. f(x)=2x³-5x²+4x-1
  2. f(x)=x4+x
  3. f(x)=-2x4+3x2+2
  4. f(x)=(x4-5x3-4x2+44x-48)/10
  5. f(x)=10(5x²-1)(1-x)³
  6. f(x)=(x+2)²(x-1)³/4
  7. f(x)=(-x³+3x-2)/(x²+2x+1)
  8. f(x)=x²/(x²-1)
  9. f(x)=(x²-4)/(x²+2x-3)
  10. f(x)=(-2x²-x+1)/(x²-x+1)
  11. f(x)=(x²-5x+4)/(x²+5x+4)
  12. f(x)=(2x²-7x+3)/(x²-7x+12)
  13. f(x)=(x-1)³/(x+1)²
  14. f(x)=(x3-3x)1/3
  15. f(x)=Ö (x²-6x+10)
  16. f(x)=Ö (x²-3x)
  17. f(x)=2x-Ö (x²+x+1)
  18. f(x)=Ö (x³+x²)
  19. f(x)=Ö (x³-x²)
  20. f(x)=Ö |x²-6x+5|
  21. f(x)=x+Ö (x²-1)
  22. f(x)=x+Ö |x²-1|
  23. f(x)=|x-1|1/2 |x+1|3/2
  24. f(x)=Ö (x+2)²+1/(x+1)
  25. f(x)=xÖ ( (x-1)/(x+1) )
  26. f(x)=sinx+cosx
  27. f(x)=cosx+cos(2x)
  28. f(x)=cosx-sinx+1
  29. f(x)=(1+cosx)/(1-sinx)
  30. f(x)=x-tgx
  31. f(x)=xsinx
  32. f(x)=(sinx)/x
  33. f(x)=sin(1/x)
  34. f(x)=arccos(2x)
  35. f(x)=arcsinx²
  36. f(x)=arctg(1/x)
  37. f(x)=arcsinx+arcsin(2x)
  38. f(x)=arccotg(1/x)-arccotgx
  39. f(x)=arcsin(1/(1-x²))
  40. f(x)=arccos((2Ö x)/(x+1))
  41. f(x)=arcsin((x-1)/(x+1))
  42. f(x)=arctg(1/(1+x²))
  43. f(x)=4x-ex
  44. f(x)=xlnx-x
  45. f(x)=xe-x/2
  46. f(x)=x2e-x
  47. f(x)=(x+2)e1/x
  48. f(x)=e1/x/x
  49. f(x)=x/lnx
  50. f(x)=ex²+1/x
  51. f(x)=(lnx-2)/(lnx-1)
  52. f(x)=(1+ln²x)/(1-ln²x)
  53. f(x)=e-x/10cosx
  54. f(x)=(lnx)1/x
  55. f(x)=xlnx
  56. f(x)=x+1+3/(2x)+0.5ln|(x+1)/(x-1)|

Sommaire

Fiche n°27 : Intégrales définies.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Intégrales définies)

Soit f(x)= (-x³+2x²+7x+4)/4

Dans Troisième niveau (1)/Intégrales définies/Méthodes d’intégration, calculons l’intégrale de –2 à 3 de f(x)dx. On constate que par la méthode de Simpson on obtient la bonne réponse quel que soit le nombre n des points de subdivision. Ce résultat est tout à fait inattendu pour un polynôme du troisième degré, et la même surprise se produit pour d’autres polynômes de degré 3. Ici l’ordinateur nous fait soupçonner une propriété qui aurait probablement échappé en d’autres temps.

Il est aisé d’ailleurs de démontrer cette propriété en calculant l’intégrale de 0 à a de x³ dx à l’aide d’une primitive puis par la formule de Simpson et de constater l’égalité des résultats. Dès lors, par la propriété de linéarité de l’intégrale définie la propriété est établie.

En recommençant les mêmes calculs pour x4 on prouvera que cette propriété ne subsiste pas.

Exploitons cette propriété pour s’assurer que la méthode de Simpson est bien comprise par les élèves.

Dans Troisième niveau (1)/Intégrales définies/Interprétation graphique, on représente l’intégrale de –2 à 3 de f(x) dx pour n=1 avec f(x)= (-x³+2x²+7x+4)/4.

Soit g la parabole comprenant les points A(-2 ; 1.5), B(0.5 ; 1.96875) et C(3 ;4). Dans Deuxième niveau/Le second degré/Parabole Pº y=ax²+bx+c/Voir/Parabole P comprenant les points A, B et C ou dans Deuxième niveau/Les polynômes/Polynôme défini par n points, on trouve que g(x)=0.125x²+0.375x+1.75.

Puisque l’intégrale de –2 à 3 de f(x) dx égale l’intégrale de –2 à 3 de g(x) dx, on est amené à penser que l’aire comprise entre f et g entre A et B est la même que l’aire comprise entre f et g entre B et C.

Il est aisé de prouver que l’intégrale de –2 à 0.5 de (g(x)-f(x)) dx égale l’intégrale de 0.5 à 3 de (f(x)-g(x)) dx.

Voici donc un bel exemple qui montre que l’ordinateur peut parfois être un outil de découverte.

Exercices au local : (Voir aussi "Intégrales définies").

Sommaire

Fiche n°28 : Polynômes de Taylor.

(Utilisation de Troisième niveau (1)/Polynômes de Taylor)

Problème : Estimer sin(8) à 0.001 près.

Ce genre de problème a été résolu bien des fois, mais depuis l’arrivée des ordinateurs il est devenu possible de vérifier graphiquement les résultats avec facilité sans se livrer à des calculs de longueur prohibitive.

La question revient donc à chercher jusqu’à quel ordre il faut développer sin(x) pour que la valeur absolue de l’erreur commise en prenant pour valeur de sin(8) la valeur de ce développement soit certainement inférieure à 0.001 ?

Puisque sin x = x – x3/3! + x5/5! - x7/7! + ... + (-1)n-1 x2n-1 / (2n-1) ! + R2n+1

avec R2n+1 = x2n+1 / (2n+1) ! sin(x +(2n+1)p /2),
on sait que | R 2n+1 | < |x| 2n+1 / (2n+1) !

Cherchons donc le plus petit entier n tel que 8 2n+1 / (2n+1) ! £ 0.001.
On trouve n=13. Le reste est donc d’ordre 27, et il faudra développer jusqu’à l’ordre 25.

En cliquant sur f(x) avec un majorant M, avec x=8 et M= 0.001, on retrouve bien l'ordre 25 et la valeur sin(8)=0.989564. En adoptant pour valeur exacte de sin(8) celle que calcule l’ordinateur, l’erreur en valeur absolue est 0.000206 et est effectivement inférieure à 0.001.

On vérifie d’abord que l’ordre 25 est acceptable.

On choisit -1<x<14 et -2<y<2 dans Repère, et on clique sur Graphique pour un ordre variant de 1 à 29 par pas de 2. On observe que le polynôme d'ordre 25 donne une bonne approximation de sin 8.

On vérifie ensuite que l’erreur en valeur absolue est bien inférieure à 0.001.

En effet, dans Repère, on choisit 7.998<x<8.002, 0.9893<y<0.9896, la graduation 0.0005 sur Ox et 0.00005 sur Oy, et on affiche la grille. On clique ensuite sur Graphique pour un ordre variant de 25 à 26 par pas de 2, (ceci pour n’afficher que l’ordre 25) et on vérifie que l'écart entre la valeur approchée et la valeur exacte de sin 8 est bien 0.000206 en valeur absolue. Si Taylor et Mac-Laurin avaient vu cela !…

Remarques

Connaissant ce résultat, si on pose la question : Trouver un majorant de l’erreur commise en prenant pour sin(8) le développement jusqu’à l’ordre 25, on s’attend à trouver un majorant inférieur ou égal à 0.001. Cherchons ce majorant M en cliquant sur f(x) jusqu'à l'ordre N, avec x=8 et N=25. On trouve en effet M=0.000222. M est bien inférieur à 0.001 et évidemment supérieur à 0.000206.

Il est évident qu'en pratique on estimera sin(8-2p ) et non sin 8.

Exercice au local : Estimer la valeur de e. ( e=exp(1) ) à 0.001 près.

Sommaire

Fiche n°29 : Nombres complexes.

(Utilisation de Troisième niveau (2)/Nombres complexes et Troisième niveau (2)/Polynômes dans C)

Ce programme peut aider l’élève à se familiariser avec la forme goniométrique, voire exponentielle d’un nombre complexe, passage obligé pour interpréter graphiquement les opérations sur les complexes.

Le programme permet de résoudre aussi l’équation du second degré à coefficients complexes.

Le programme Troisième niveau (2)/Polynômes dans C permet de résoudre les équations d’un degré inférieur ou égal à 4 à coefficients réels. On pourra observer dans ce cas que si a+bi est solution alors a-bi est aussi solution. Les équations de degré 3 ou 4 ont été résolues à l’aide des formules suivantes :

D=R²+Q³ où Q=(3b-a²)/9 et R=(-2a³+9ab-27c)/54.

D>0Þ une racine réelle x1 et deux racines complexes conjuguées x2 et x3.

Soit S=(R+Ö D)1/3 et T=(R-Ö D)1/3

x1=S+T-a/3
x2=-(S+T)/2-a/3+i(S-T)Ö 3/2
x3=-(S+T)/2-a/3-i(S-T)Ö 3/2

D=0Þ une racine réelle x1 simple et deux racines réelles égales x2 et x3.

x1=2R1/3-a/3
x2=x3=-R1/3-a/3

D<0Þ trois racines réelles x1, x2 et x3. Soit q =arccos(R/Ö (-Q³))

x1=2Ö (-Q) cos(q /3)-a/3
x2=2Ö (-Q) cos((2p +q )/3)-a/3
x3=2Ö (-Q) cos((4p +q )/3)-a/3

2x²+x(a± Ö (a²-4b+4y1))+y1± (ay1–2c)/Ö (a²-4b+4y1)=0, où y1 est une racine réelle de l’équation :

y³-by²+(ac-4d)y+4bd-a²d-c²=0.

Exercices au local :

  1. Résoudre l’équation (1+2i)x²+(3i-1)x-1+2i=0.
  2. Trouver les racines huitièmes de 1+iÖ 3/2
  3. Effectuer le produit de 4+2i par -1+3i.
  4. Calculer la 9éme puissance de 0.866025+0.75i.
  5. Former un polynôme ayant pour racines : 1, -2, 1+3i, 1-3i, et vérifier ensuite en le factorisant.
  6. voir aussi ex. 14.

Sommaire

Fiche n°30 : Matrices et déterminants.

(Utilisation de Troisième niveau (2)/Matrices/Etude des matrices)

Résoudre l'équation matricielle :

Honnêtement le calcul à la main est plus rapide qu’à l’ordinateur.

L’objectif sera donc plutôt de bien organiser les calculs pour être capable d’en faire de plus élaborés.

On commencera par résoudre manuellement l’équation et on utilisera le programme ensuite.
On calcule d’abord la somme des matrices du membre de droite et on place ce résultat dans la matrice A (bouton A ¬ C)
On multiplie la matrice par –0.5 et on conserve ce résultat dans la matrice mémoire M (bouton M ¬ C)
Il faut maintenant calculer l’inverse de la matrice coefficient de X. On l’encode en A, on forme en C la matrice inverse on place le résultat en B (bouton B ¬ C)
On replace en A la matrice M (bouton A ¬ M), et on calcule enfin le produit des matrices en A et B pour trouver enfin la matrice inconnue X en C.

Exercice au local :

  1. Vérifier que le déterminant du produit de deux matrices est le produit des déterminants de ces matrices.
  2.  
    Calculer la matrice adjointe de la matrice
  3. et vérifier qu’en la divisant par son déterminant on retrouve bien la matrice inverse.

  4.  
    Résoudre l’équation matricielle
  5.  
    Déterminer l tel que :

Pour chaque valeur de l trouvée, calculer x et y. On pourra utilement se référer ensuite à Troisième niveau (2)/Matrices/Valeurs propres et vecteurs

Sommaire

Fiche n°31 : Les vecteurs.

(Utilisation de Deuxième niveau/Les vecteurs)

Pour n=1 ou 2 ou 3 les graphiques peuvent aider les élèves à se familiariser avec les opérations sur les vecteurs sur une droite, dans le plan ou dans l’espace. Ils prendront conscience que cette représentation n’est plus possible si n=4.

Ce programme illustre à volonté la somme, différence, le produit par un scalaire, … pour les données de l’utilisateur mais aussi avec des données aléatoires. Celles-ci placeront parfois l’utilisateur dans des situations qu’il n’aurait peut être pas imaginées.

Avec des élèves motivés et du temps on pourrait introduire les notions de partie libre, liée, génératrice, non génératrice et de base. Dans ce cas, les théorèmes énoncés dans les Suggestions fourniraient matière à réflexion.

Soit par exemple, pour introduire les parties liées, n=2 et les points A(4 ; 1), B(3 ; -2) et C(-1 ; 5).

Exprimons si possible OA comme combinaison linéaire de OB et OC, puis OB comme C.L. de OA et OC, puis OC comme C.L. de OA et OB.

On trouve OA=21/13 OB + 11/13 OC, OB=13/21 OA - 11/21 OC, OC=13/11 OA - 21/11 OB, ou encore :

OA - 21/13 OB - 11/13 OC = OO
13/21 OAOB - 11/21 OC = OO
13/11 OA - 21/11 OB- OC = OO

Autrement dit la C.L. r OA + s OB + t OC = OO existe avec au moins un des coefficients non nul.

On dira que les vecteurs OA, OB et OC sont linéairement dépendants ou encore que la partie {OA, OB, OC} est liée.

Exercices au local :

  1. Dans le plan vectoriel un vecteur quelconque peut-il s’exprimer comme combinaison linéaire :
    1. d’un vecteur donné ? Si oui, de combien de manières ?
    2. de deux vecteurs donnés ? Si oui, de combien de manières ?
    3. de trois vecteurs donnés ? Si oui, de combien de manières ?
  2. Mêmes questions dans un vectoriel de dimension 1, 3 et 4.
  3. Voir aussi "Les vecteurs".

Sommaire